Решение методом Гаусса | Система уравнений методом Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

            В отличие от матричного метода и метод Крамера , метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений :

            Разделим обе части 1–го  уравнения на a₁₁ не равно 0, затем:
1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения
и т.д.

Получим:

,   где d_1j = a_1j/a₁₁,  j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j         i = 2, 3, … , n;       j = 2, 3, … , n+1.

            Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

            Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Для решения методом гаусса уравнения, составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  z = 3; y = 2; x = 1.
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Для самостоятельного решения:
                        Ответ: {1, 2, 3, 4}.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Линейная алгебра

Линейная алгебра матрицы. Решение

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Коммутативна алгебра

Вернуться в оглавление: Высшая математика