Теория категорий

Теория категорий - раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими структурами, независимо от внутреннего строения структур; абстрагируется от множеств и функций к диаграммам, где объекты связаны морфизм (стрелками).

Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применение в информатике и в теоретической физике. Современное преподавание алгебраической геометрии и гомологической алгебры базируется на теории категории. Понятия теории категорий используются в языке функционального программирования Haskell.

История

Понятие категория была введена в 1945 году. Своим происхождением и первичными стимулами развития теория категорий обязана алгебраической топологии. Дальнейшие исследования выявили объединяющую и унифицируя роль понятия категория и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики.

Теоретико-категорний анализ основ теории гомологии привел к выделению в середине 50-х гг 20 в. так называемых абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить основные построения гомологической алгебры. В 60-е гг 20 в. определился растущий интерес к неабелевих категорий, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраической геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебре и аксиоматическое построение теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорному изучению многообразий универсальной алгебре, теории изоморфизме прямых разложений, теории связанных функторов и теории двойственности функторов. Дальнейшее развитие обнаружил существенный взаимосвязь между этими исследованиями. Благодаря возникновению теории относительных категорий, широко использует технику связанных функторов и замкнутых категорий, была установлена двойственность между теорией гомотопий и теории универсальных алгебр, основанная на интерпретации категорних определений моноида и комоноида в соответствующих функторов. Другой способ введения дополнительных структур в категориях связан с заданием в категориях топологии и построении категории пучков над топологической категории (так наз. топосы ).

Определение

Категория

Категория $\ Mathcal {C}$ состоит из класса $Ob_ {\ mathcal {C}}$ , элементы которого называются объектами категории, и класса, элементы которого называются морфизм категории. Эти классы должны удовлетворять следующим условиям:

Каждой упорядоченной паре объектов А, В сопоставлены класс $\ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)$ ; если, то А называется началом, или областью определения морфизму f, а В - конец, или область значений f.
Каждый морфизм категории принадлежит одному и только одному классу.
В классе $Mor_ {\ mathcal {C}}$ задан частичный закон умножения: произведение морфизм $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$ и $g \ in \ mathrm {Hom} (C, D)$ определены тогда и только тогда, когда В = С, и принадлежит классу Hom ( A, D ). Произведение f и g сказывается.
Справедливый закон ассоциативности: $h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ f$ для любых морфизм для которых данные произведения определены.
В каждом классе Hom ( A, A ) определен такой морфизм и D A, что $f \ circ id_A = id_B \ circ f = f$ для $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$ ; морфизм и D A называются единичными, тождественными, или единицами.

Заметка: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называетсямалой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определение) рассматривать категории, в которых морфизм между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру.

Примеры категорий

Set - категория множеств. Объектами являются множества, морфизм - отображение множеств, а умножение совпадает с последовательным выполнением отображений.
Top - категория топологических пространств. Обьектамие есть топологические пространства, морфизм - все непрерывные отображение топологических пространств, а умножение снова совпадает с последовательным выполнением отображений.
Group - категория групп. Объектами являются группы, морфизм - все гомоморфизм групп, а умножение совпадает с последовательным выполнением гомоморфизм. По аналогии можно ввести категорию колец и т. д.
Vect K - категория векторных пространств над полем K. Морфизм - линейные отображения векторных пространств.
Rel - категория бинарных отношений множества; класс объектов этой категории совпадает с классом объектов Set, а морфизм множества А в множество В есть бинарные отношения этих множеств, то есть всевозможные подмножества декартова произведения А x В; умножения совпадает с умножением бинарных отношений.
Моноид является категорией с одним объектом, наоборот, каждая категория, состоящая из одного объекта, является моноидом.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причем между элементами x и yсуществует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x <= y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств ).

Все вышеперечисленные категории допускают изоморфное вложение в категорию множеств. Категории, с таким свойством, называются конкретными. Не всякая категория является конкретной, например категория, объектами которой являются все топологические пространства, а морфизм - классы гомотопных отображений.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий является коммутативные диаграммы. Коммутативна диаграмма - это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками есть морфизм или функторы, причем результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Категория с объектами X, Y, Z и морфизм f, g.

Двойственность

Для категории $\ Mathcal {C}$ можно определить двойственную категорию $\ Mathcal {C} ^ {op}$ , в которой:

объекты совпадают с объектами начальной категории;
морфизм получаемые «вращением стрелок»: $\ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C} ^ {op}} (B, A) \ simeq \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)$

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок.Часто двойное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры ниже).

Справедлив так принцип двойственности: утверждение г истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное утверждение г *. Многие понятия и результатов в математике оказались двойственным друг другу с точки зрения понятий теории категорий: иньективнисть и сюрьективнисть, многообразия и радикалы в алгебре и т.д.

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизмы

Морфизм $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм, что $g \ circ f = id_A$ и. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизм, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмамы. Множество ендоморфизмив $\ \ Mathrm {End} (A) = \ mathrm {Hom} (A, A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизм, называются автоморфизмом. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $\ \ Mathrm {Aut} (A)$ по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм - это морфизм $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$ такой, что для любых $g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (X, A)$ из $f \ circ g_1 = f \ circ g_2$ следует, что. Композиция мономорфизм является мономорфизм.

Эпиморфизм - это такой морфизм, что для любых $g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (B, X)$ из $g_1 \ circ f = g_2 \ circ f$ следующего.

Биморфизм - это морфизм, являющийся одновременно мономорфизм и эпиморфизмом. Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм является изоморфизмом.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями соответственно. Любой изоморфизм есть мономорфизм и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории - это такой объект, с которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный объект - это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальный объектом является пустое множество $\ Empty$ , терминальным - множество из одного элемента.

Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают - это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение объектов A и B - это объект $A \ times B$ с морфизм $p_1: A \ times B \ to A$ и $p_2: A \ times B \ to B$ такими, что для любого объекта C с морфизм $f_1: C \ to A$ и $f_2: C \ to B$ существует единственный морфизм $g: C \ to A \ times B$ такой, что. Морфизм $p_1: A \ times B \ to A$ и $p_2: A \ times B \ to B$ называются проекциями.

Дуально определяется прямая сумма или кодобуток A + B объектов A и B. Соответствующие морфизм $\ Imath_A: A \ to A + B$ и $\ Imath_B: B \ to A + B$ называются вложениями. Несмотря на свое название, в общем случае они могут и не быть мономорфизм.