Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решётчатых функций f[n] и определяется соотношением (5.11) В этом выражении q = σ+iω – комплексное число, называемое параметром преобразования. Функцию f[n] называют оригиналом, а F(q)- изображением. Чтобы изображение F(q) было определено, необходима сходимость ряда (5.11). Доказано, что если ряд (5.11) сходится при Re(q)=σ0, то он сходится при любых q, удовлетворяющих условию Re(q) >σ0. Значение σс, для которого при σ ≥ σс ряд сходится, а при σ < σс расходится, называется абсциссой сходимости. Ряд сходится, если σс < ∞, в противном случае он расходится, и изображение для f[n] не существует. Положив , приходим к так называемому z-преобразованию функции f[n], определяемому как . (5.12) В табл.2 приведены z-преобразования некоторых функций. Табл.2
1[n] n Изображения решётчатых функций являются функциями комплексного переменного eq, которое может быть записано в виде (5.13) Из этого следует, что eq – периодическая функция вдоль мнимой оси комплексного переменного с периодом 2π. Следовательно, изображения являются периодическими функциями вдоль мнимой оси. Прямое преобразование Лапласа решает задачу нахождения изображения по оригиналу. Обратная задача, то есть нахождение оригинала по изображению, решается в соответствии с формулой (5.14) В литературе имеются таблицы соответствия между оригиналами и изображениями различных конкретных решётчатых функций. |
Вернуться в оглавление: ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ |