Преобразование Лапласа. Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа

Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

(1)

ставящее функции x(t) вещественного переменного t в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом x(t) называют оригиналом, X(s) — изображением или изображением по Лапласу и s — переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение — одноименной прописной буквой.

Предполагается, что функция x (t), подвергающаяся преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:

1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интервале [0, ∞);

2) x(t) ≡ 0 при t < 0;

3) существуют такие положительные числа с и М, что │ x(t)│ < Me^ct при 0 ≤ t < ∞.

Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функцией-оригиналом.

Соотношение, определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = σ > с.

(2)

Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде

X(s) = L{x(t)}, x(t)=L^-1{X(s)},

где L — оператор Лапласа, a L ^-1 — обратный оператор Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и β

L{αx₁(t) +βx₂(t)} = aL{x₁(t)}+βL{x₂(t)},

т. е. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преобразований слагаемых и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.

2. Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, то

где X(s) = L{x(t)}, .

Здесь запись t → +0 обозначает, что t стремится к нулю, оставаясь положительной (предел справа).

Если п-я производная х ⁽ⁿ⁾(t) является функцией-оригиналом, то

L { х⁽ⁿ⁾ (t)} =sⁿX (s) – s⁽ⁿ ^-1) x (0) – s⁽ⁿ ^-2) x (0) - … - x⁽ⁿ ^{-1 )}(0)

Здесь х⁽^k⁾ (0) = lim х⁽^k⁾ (t) k = 0,1,..., n - 1.

^t ^{→ +0}

При x (0) = x (0) =…= x ⁽ ⁿ ^-1)(0) = 0 последняя формула принимает вид

L { х⁽ⁿ⁾ (t)} =sⁿX (s).

Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s.

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на s:

4. Теорема запаздывания. Для любого τ > О

L{x(t - τ)} = e^-^τSL{x(t)} = e ^-^τSX(s).

5. Теорема дифференцирования изображения. Изображение от произведения t на x(t) равно производной от изображения X(s), взятой с обратным знаком: