Пример 9.3

Металлический шар радиуса a окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиуса b. Пространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением r. Найдите сопротивление межэлектродного промежутка. Рассмотрите случай .

Решение.

Способ 1: Представим, что шар и оболочка заряжены зарядом соответственно. Через слабо проводящую среду, заполняющую пространство между ними, потечет ток разрядки. В силу сферической симметрии распределения зарядов распределение плотности тока будет обладать такой же симметрией, т.е. . Поэтому полный ток утечки через концентрическую сферическую поверхность радиуса равен и не зависит от . Напряженность электрического поля в проводящем пространстве будет . Соответствующее напряжение на проводящих обкладках равно:

Для величины , получим . Если проводящая среда занимает все пространство , то ее сопротивление равно .

Способ 2: Представим ток сквозь любую замкнутую поверхность окружающую металлический шар как поток поля вектора плотности тока в виде:

,

где - заряд металлического шара ( - заряд окружающей сферической оболочки). Разность потенциалов между заряженными поверхностями шара и оболочки равна . Величина сопротивления равная отношению напряжения к току, как и в первом способе решения равна .

Способ 3: Разобьем сферически симметричное пространство проводящей среды на элементарные сферические слои концентрические с металлическими электродами. Сопротивление всей среды при этом разобьется на последовательно соединенные элементарные сопротивления, величина которых равна . Полное сопротивление межэлектродного пространства равно:

.