Флуктуационныи шум

Флуктуационный шум наиболее характерен для большинства каналов электросвязи. Определение, происхождение, характер ме­шающего действия флуктуационного шума на первичные сигналы были описаны в § 1.4. Для количественных расчетов воздействия флуктуационного шума на сигнал необходимо знать основные ста­тистические характеристики, которые излагаются в настоящем параграфе. Поскольку шум образуется как сумма большого числа отдельных независимых колебаний, он согласно центральной пре­дельной теореме, доказанной в 1901 г. академиком А. М. Ляпуно­вым, представляет собой стационарный эргодический случайный процесс с гауссовским (нормальным) распределением вероятности.

Плотность вероятности гауссовского процесса описывается фор­мулой

(2.23)

в которую входят два числовых параметра m и а², имеющие смысл математического ожидания и дисперсии: m =М(Х),s²=D(X). График плотности вероятности р(х) представляет собой колоколо-образную кривую с единственным максимумом в точке х=т (рис. 2.17,а). В графике обращает внимание на себя то, что с умень­шением s кривая все более локализуется в окрестности точки х=т. Для флуктуационного шума обычно М(Х) =0.

Рис. 2.17. Гауссовское распределение вероятностей: а — плотность вероятности; б — функция распределения

Функция распределения вероятности для гауссовского случайного процесса, согласно (2.18)

после замены переменных y=(x-m)/s приводится к виду

(2.24)

где

График функции F(x) (рис. 2.17,6) имеет вид монотонной воз­растающей кривой от нуля до единицы. Входящая в выражение (2.24) функция Фо(z) называется интегралом вероятности, и она табулирована в математических справочниках. Функция нечетная: Ф_о(- z) =-Фо(z), кроме того, Ф₀(0)=0, Ф₀(¥)=0,5 Для вычис-

лений с точностью 3... 5% можно воспользоваться приближенным выражением

Ф₀(z)»0,5-0,65exp[-0,44(z+0,75)²] (2.25)

Пример 2.6. Вычислить вероятность того, что мгновенное значение флук­туационного шума с дисперсией s² = 9 В² превысит уровень Хо = 6 В.

Исходя из определения функции распределения вероятности (2.17), сле­дует, что вероятность превышения случайным процессом уровня Хо

P(X>x_o)=l—P(X<x_o)=l—F(xo).

Подставляя сюда значение F(xo) для гауссовского случайного процесса полу­чаем

Р(Х>х_о) = 1- 0,5-Ф₀ [(x0-m)/s] =0,5-Ф₀ [(x0-m)/s]

Для конкретных числовых значений xо=6, s² = 9, m=0, воспользовавшись приб­лиженной формулой (2.25) для Фо(г), получаем

P(X>6)»0,65exp[-0,44(2+0,75)²]=2,33*10^-2

Спектральная плотность мощности G_x (f) флуктуационного шу­ма зависит от физической природы его образования, а также точки канала связи, где он рассматривается. Обычно спектральная плотность мощности Gx(f) флуктуационного шума равномерна до 10¹²... 10¹³ Гц, т. е. можно считать, что в этом случае шум называют белым. Это название дано по ана­логии с белым светом, имеющим все частотные компоненты. Если спектральная плотность мощности шума равномерна только в по­лосе частот сигнала, то шум называют к вазибелым.