Задача 2. Счастье Джона Смита (25 баллов)

ХIХ Всероссийская олимпиада школьников по экономике

Заключительный этап

I тур

Задача 1. Ошибка бухгалтера (25 баллов)

В 2012 году генеральным директором фирмы X был Иван Иванович, а главным бухгалтером – Аристарх Ксенофонтович. Следуя стандартной стратегии максимизации прибыли, Иван Иванович выбрал объем выпуска, равный 20. По данным главного бухгалтера, прибыль составила 10. В 2013 году в результате интриг Иван Иванович и Аристарх Ксенофонтович поменялись должностями. Встав у руля фирмы, Аристарх Ксенофонтович придерживался более экстравагантной стратегии — максимизации рентабельности (отношения прибыли к общим издержкам). Он выбрал объем выпуска, равный 30. По данным главного бухгалтера, рентабельность в 2013 году составила 25 %.

Известно, что величина прибыли и общих издержек фирмы X зависит только от ее выпуска, причем общие издержки принимают только строго положительные значения и строго возрастают по выпуску. Директор и бухгалтер понимают под издержками одно и то же, то есть у фирмы нет неявных затрат.

а) Найдите противоречие в условии, то есть докажите, что верно хотя бы одно из двух утверждений:

1) Хотя бы один из директоров выбрал неоптимальный объем выпуска (с точки зрения его стратегии);

2) Хотя бы один из бухгалтеров ошибся в расчетах.

б) Допустим, доподлинно известно, что оба директора выбрали оптимальные объемы выпуска. Определите, кто из бухгалтеров ошибся в расчетах.

Решение

а) Допустим, в условии все верно. Тогда прибыль в точке 30 не больше, чем в точке 20 (так как 20 – оптимальный объем с точки зрения максимизации прибыли).

Отсюда следует, что Аристарх, как гендиректор, действовал не оптимально. Если бы он выбрал не объем 30, а объем 20, то (1) издержки бы строго упали; (2) прибыль бы не уменьшилась. Поскольку прибыль в обеих точках положительна, отношение прибыли к издержкам (рентабельность) точно бы строго выросла. Значит, Аристарх выбрал не оптимальный объем. Противоречие.

б) Допустим, оба объема выпуска действительно оптимальны. Чтобы рассуждение из решения (а) не давало противоречия, необходимо, чтобы прибыль в точке 20 была неположительной. Значит, Аристарх ошибся как бухгалтер. Однако если максимальная прибыль не положительна, то, очевидно, и максимальная рентабельность не положительна. Поэтому Иван Иванович тоже ошибся в расчетах. Ошиблись оба бухгалтера.

Задача 2. Счастье Джона Смита (25 баллов)

В экономике страны Альфа функция краткосрочного совокупного предложения в 2014 году имеет вид , где — уровень цен в этой экономике в 2014 году, — величина совокупного предложения в 2014 году (млн д. е.). Уравнение совокупного спроса описывается количественной теорией денег, причем известно, что скорость обращения денег постоянна и равна единице.

В этой стране очень хорошо развиты платежные системы, поэтому ее жители не пользуются наличными деньгами, и вся денежная масса определяется величиной депозитов. Денежная база в стране Альфа составляет 0,27 млн д. е. Коммерческие банки страны Альфа не держат избыточных резервов. А норма обязательных резервов в этой стране определяется центральным банком, точнее, его главой — Джоном Смитом. Этот господин устанавливает норму резервов так, чтобы максимизировать свое счастье. Его счастье положительно зависит от краткосрочного равновесного уровня ВВП, потому что за высокий ВВП Смита может похвалить президент. Кроме того, главу центрального банка раздражает нестабильность цен (как инфляция, так и дефляция). Будем считать, что уровень счастья Джона Смита описывается следующим уравнением: , где — уровень инфляции по отношению к прошлому году (в прошлом году общий уровень цен в этой стране был равен единице).