Задача 4. Вещество и антивещество (25 баллов)

2114 год. Электростанция X производит электроэнергию, для получения единицы которой нужно затратить по одной единице вещества и антивещества. Электростанция является единственным производителем электроэнергии в своем регионе; спрос на нее задан уравнением . Рынок вещества совершенно конкурентный, и цена на нем равна . Антивещество же, напротив, является уникальным благом, которое может производить только Большой Адронный Коллайдер (БАК). Все рассмотренные фирмы максимизируют прибыль, при этом сначала цену устанавливает БАК, а потом электростанция. Все издержки БАКа, а также издержки электростанции, не связанные с закупкой сырья, будем считать фиксированными.

а) Допустим, в производстве энергии может использоваться любое вещество, и потому . Найдите цену антивещества (), которую установит БАК, и цену электроэнергии, которую установит электростанция.

б) Пусть теперь . Допустим, растет на один рубль, о чем становится известно БАКу. Верно, ли что средние переменные издержки производства единицы электроэнергии вырастут на рубль? Если нет, то вырастут ли они больше, чем на рубль, или меньше, чем на рубль? Ответьте, не производя расчетов.

в) Найдите цену антивещества и цену электроэнергии, если .

Решение:

а) Решим задачу для произвольного .

Найдем сначала спрос электростанции на антивещество.Пусть цена антивещества равна . Электростанция максимизирует прибыль:

где - объем производимой электроэнергии (который численно совпадает с объемами используемого вещества и антивещества). График целевой функции является параболой с ветвями вниз, и поэтому ее максимум достигается в вершине параболы: Этим уравнением и задается спрос на антивещество.

Зная этот спрос, БАК будет максимизировать свою прибыль:

И вновь, график целевой функции является параболой с ветвями вниз, и потому максимум функции достигается в вершине параболы: .

Таким образом, при оптимальная цена антивещества равна 50. По этой цене электростанция купит 25 единиц антивещества, произведет 25 единиц электроэнергии, которые продаст по цене .

б) При росте цены вещества, БАКу будет выгодно изменить цену антивещества. Действительно, как следует из технологии производства, вещество и антивещество являются для электростанции факторами-комплементами, и потому при росте цены вещества спрос станции на антивещество сократится. В данном случае линия спроса на антивещество сдвинется параллельно вниз по оси цен на величину ∆ν=1 руб. Падение спроса приведет к тому, что БАКу будет выгодно снизить цену на антивещество. Если БАК не изменит цену, то он окажется на эластичном участке новой функции спроса на свою продукцию, т.е. на антивещество. Значит, ему будет выгодно снизить цену до уровня, обеспечивающего получение максимума выручки. А так как по условию задачи все его издержки фиксированы, то рост выручки позволит ему увеличить прибыль, на которую он может рассчитывать в новых условиях. Иными словами, рост приведет к падению . Значит, средние переменные издержки электростанции (величина ) вырастут на величину меньшую, чем прирост .

в) Просто подставим в наши формулы, полученные выше, . Получим, что БАК назначит цену антивещества, равную 45 (как видим, действительно снизилось при росте от нуля до 10). Электростанция при этом произведет 22,5 единицы электроэнергии и продаст их по цене 77,5.