Понятие ассоциативность

Определение: Ненулевой элемент а называется делителем нуля, если существует , где

.

Свойство: Ассоциативность.

В математике принято «бинарную алгебраическую операцию» для краткости называть умножением или сложением.

«Б.А.О» - «сложение» и «умножение».

Сложение чисел – это конкретная операция.

Ее обозначают: умножение - или ; сложение +

1) мультипликативная

2) аддитивная

Закон ассоциативности:

Упражнение:

Записать на языке математического анализа выражение

,

Последовательное выполнение функции называется композицией сложной функции или ее суперпозицией.

Например:

Очевидно, что суперпозиция функции является ассоциативной операцией, а так как большинство физических, социальных и экономических процессов, то ассоциативность часто встречается на практике.

Следствие: благодаря свойству ассоциативности при умножении или сложении не важно как расставлены скобки.

Например:

Теорема: Если выполняется аксиома об ассоциативности, то результат не зависит от расстановки скобок, сколько бы не было множителей.

Доказательство: воспользуемся методом математической индукции.

1) База индукции n=3 – это и есть аксиома ассоциативности.

2) Предположим, что теорема доказана, т.е. в произведении n элементов результат не зависит от расстановки скобок.

3) Докажем, что в произведении n+1 элемента результат независим от расстановки скобок.

1 вариант доказательства:

Нужно взять 2 произвольные расстановки скобок и доказать, что они равны друг другу.

2 вариант доказательства:

Часто в математике объекты, подлежащие преобразованию могут принять особенно замечательный вид(краткий, симметричный) его обычно называют канонический.

Мы объявим каноническую расстановку скобок слева направо.

Выберем произвольную расстановку скобок и докажем, что она дает тот же результат, что и каноническая запись.

Пусть у нас есть произведение n+1 элемента , где мы написали самые большие внешние скобки.

В этих скобках элементов не больше, чем n, потому по предположению индукции можем считать, что в этих скобках уже стоят канонические произведения. Обратим внимание на то, что

Если m=n, то , так как слева уже канонические произведения и справа умноженное на a_n+1 , то у нас опять получается каноническое произведение.

Если m<n, то в этом случае во второй скобке есть хотя бы 2 элемента.

По аксиоме об ассоциативности мы можем переставить скобки и можем применять до тех пор, пока в скобке справа не окажется 1 элемент так мы преобразуем. Т.д.

В результате того, что результат произведения не зависит от расстановки скобок то в ассоциативности можно говорить о понятии степени.

Нейтральный элемент по умножению.

Определение: элемент е называется нейтральным по умножению, если

для любителей математического анализа запись выглядит так:

В мультипликативной записи нейтральный элемент называют единицей, так как это совсем не обязательно единица обозначают е или Е или 1 – омоним числа 1.

В аддитивной записи

Называют нулем, т.к. это не обязательно нуль обозначают о или О.