Алгебраические операции. Введение понятия дистрибутивность

Аксиомы ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности.

Для любого натурального числа N привести пример алгебраической операции на N+1 элементе, в которой некоторый элемент имеет N обратных.

Утверждение: если операция ассоциативна, то обратный элемент, если он существует, будет единственный.

Доказательство: пусть а некоторый элемент, а b и с его обратные, тогда

(благодаря ассоциативности).

Замечание: Если обратных элементов несколько, то ассоциативности точно нет.

Если обратный элемент единственный, то в случае мультипликативной операции его принято обозначать - обозначение!, а в случае аддитивной операции - обозначение!

в смысле понятия степени, как количество перемножений полная чушь

Что будет

Так как при умножении обратного элемента на нейтральный, т.е. е

Операция сводится к сложению показателей степени.

- условное обозначение.

Коммутативность:

При записи алгебраической операции в виде таблице коммутативность легко распознать, т.к. таблица становится симметричной относительно главной диагонали.

На 4-х элементах алгебраических операций, а коммутативных в 4100 раз меньше .

Различные значения, не зависящие друг от друга, могут принимать роль 10 элементов таблицы, расположенных на и над главной диагональю.

А сколько операций из 4-х элементов с нейтральными элементами?

А сколько алгебраических операций на 4 – х элементах коммутативных и с нейтральным элементом?

По таблице легко определить, если нейтральный элемент и есть ли нейтральный элемент и есть ли коммутативность, а вот ассоциативность из таблицы не видна, ее нужно проверять вручную.

Если у алгебраической операции n элементов, то тогда количество троек будет и умножений.

При n=4, умножений, чтобы проверить ассоциативная она или нет.

«Хорошие» свойства:

1) Ассоциативность

2) Коммутативность

3) Нейтральное

4) Обратное

Определение: Пусть , в котором задано ассоциативная алгебраическая операция, тогда, p - полугруппа.

Полугруппа по сложению, она коммутативная и ассоциативная с умножением(аналогично).

Полугруппы часто встречаются в математическом и функциональном анализе, т.к. суперпозиция всегда ассоциативна.

Пусть , на котором задана ассоциативная операция с нейтральным элементом, тогда и ее называют моноид.

Множество ненулевых N чисел по умножению – моноид.

имеет место быть

Пусть , на котором задана алгебраическая операция, ассоциативная, имеющая нейтральный элемент и все элементы имеют обратный элемент – такой термин называется группой.

Множество целых элементов по сложению образуют группу. Z – группа.

Множество рациональных чисел образуют группу. по сложению.

Универсальный пример групп – симметрии любого математического объекта.

Симметрия – объект, при отображении переходит сам в себя.

Например: треугольник имеет 6 симметрий, окружность имеет множество симметрий.

Чем больше симметрий, тем объект выглядит симметричней.

Вопрос: Почему симметрия образует группу?

Доказательство:

1) Ассоциативность есть(т.к. симметрия – это отображение, а суперпозиция отображения ассоциативна)

2) Нейтральный элемент (тождественное отображение).

3) Обратный, если преобразовать объект, то всегда существует и обратный элемент; возвращает объект в исходное состояние.

Любая перестановка объектов некоторого множества Х является симметрией, так как у множества Х нет никакой структуры, то любая перестановка его не изменяет.

Если в множестве Х n элементов, то будет n! Перестановок

n!! – произведение нечетных элементов

двойной факториал например:

(Факториал факториала)

Обоснование: если на множестве Х внести некую структуру, а симметрии должны ее сохранять, то группа симметрий сразу уменьшится, поэтому любая группа в иную группу перестановок (самая универсальная вещь).

Пусть на множестве К введено 2 алгебраические операции:

1) Ассоциативная, коммуникативная, с 1-м нейтральным и 1-м обратным элементом и ее называют сложением;

2) Ассоциативная и ее называют умножением

Если операции между собой не связаны, то новой сущности математической не возникает, а связь между ними называется дистрибутивностью

левая ассоциативность

правая ассоциативность.

Это множество с 2-мя (К) называется кольцом.

Р(поле)!

Пусть , на котором заданы 2 алгебраические операции сложение и умножение. По сложению коммутативная группа, по умножению множество элементов коммутативные и связаны законами дистрибутивности. Такое множество называется полем.

Если операция умножения не коммутативная, то тогда называется не полем, а телом.

В полугруппе и моноиде можно только(+) или (*), в зависимости от операций:

В группе можно (+ или -) – аддит.; или (* и /)

В кольце(+ - *);

В поле (+ - * /)

В полугруппе 1 аксиома: ассоциативности;

В моноиде 2 аксиомы: ассоциативность и нейтральный элемент;

В группе 3 аксиомы: ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент.

В кольце 7 аксиом: ассоциативность сложения, коммутативность сложения, обратный по сложению и т.д

В поле 10 аксиом.

Кольцом является: кольцо целых чисел, кольцо квадратных матриц, кольцо многочленов и др.

Полем является: поле рациональных чисел, поле действительных чисел, поле комплексных чисел, и самое важное поле .

В кольце для любого элемента а выполняется