2015-05-27
914
Практическая работа № 11
Тема: Решение комбинаторных задач
Цель работы:
1. Закрепление теоретических знаний по теме «Элементы комбинаторного анализа».
2. Отработка навыков применения правил сложения и умножения при решении комбинаторных задач.
3. Нахождение числа перестановок, сочетаний, размещений.
Литература:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Глава 16, §1.
2. Дадаян А.А. Математика: Учебник. Глава 15, § 15.1 – 15.4.
3. Конспект лекций.
Время на выполнение: 2 часа.
Содержание работы:
Теоретическая часть.
Основные понятия
Комбинаторика – это раздел математики, в котором рассматриваются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, подчиненных некоторым условиям.
Комбинаторика возникла в XVI веке. Первые задачи комбинаторики касались азартных игр – сколькими способами можно получить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно вытянуть двух королей из карточной колоды и т.д. Подобные вопросы и явились движущей силой развития комбинаторики и теории вероятностей. Яркий свет в комбинаторике оставили Б.Паскаль, Я.Бернулли, Г.Лейбниц, Л.Эйлер и другие математики. В ХХ веке, в связи с созданием ЭВМ и повышением интереса к дискретной математике комбинаторика переживает бурный рост. Комбинаторные задачи возникают в анализе и алгебре, геометрии и топологии, в различных разделах математики и в приложениях.
Определение. Факториалом числа n называют произведение всех натуральных чисел от 1 до n (включительно).
Записывается так: n!
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅... ⋅ (n − 1) ⋅ n
По определению полагают 0!=1.
Факториалы чисел очень быстро растут в значениях при росте n, и даже при относительно небольших n уже будут иметь огромные числовые значения.
Так факториал 20 - 20!=2432902008176640000
А факториал 100 будет уже из 158 цифр.
Для чего нужен факториал? Довольно часто в некоторых математических формулах вычисление значений определённых функций сводятся к последовательному произведению определённых выражений, причём тем более точно вычисляется функция, чем длиннее последовательность этих выражений. В таких уравнениях из выражений можно вычленить часть, которая является факториалом числа, и, найдя его заранее, можно упростить решение. Бывают и более сложные функции того же строения, у которых факториалы присутствуют в каждом члене.
Вот, например: 
Чем дальше выполнять вычисления, тем большей точности мы добьёмся при вычислении значения синуса угла x.
Для любого n выполняется рекуррентное соотношение:
(n + 1)! = n! ⋅ (n + 1)
