Теоретическая часть. Учреждение образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Барановичский ГОСУДАРСТВЕННый университет»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБА КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ

Барановичи

БарГУ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБА КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ

Цель работы: определить прогиб консольной балки и сравнить его с теоретическим.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Величина прогиба балки может определяться двумя методами:

1. интегрированием приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки;

2. энергетическим.

Приближенное уравнение изогнутой оси балки имеет вид:

, (1)

где Е — модуль продольной упругости материала, для стали Е = 2∙10⁵ МПа;

J — осевой момент инерции сечения.

Для прямоугольного сечения

, (2)

b и h — соответственно ширина и высота сечения;

— вторая производная от прогиба;

М — изгибающий момент.

Если балка имеет один участок, то уравнение угла поворота сечения получают проинтегрировав уравнение (1) один раз, уравнение прогибов — два раза. Если балка имеет несколько участков, то пользуются методом начальных параметров.

Энергетический метод определения перемещений при изгибе включает в себя теорему Кастильяно и формулу Мора.

Согласно теореме Кастильяно:

, (3)

где v — прогиб в месте приложения силы F по направлению её действия;

U — потенциальная энергия деформации.

, (4)

l — длина балки.

Теорему Кастильяно применяют в случае определения прогиба в месте приложения силы по направлению ее действия. В других случаях определение прогиба по теореме Кастильяно становится затруднительным.

Этого недостатка избавлена формула Мора:

, (5)

где М ₁ — изгибающий момент от единичной силы, приложенной в месте определения прогиба.

В случае определения прогиба свободного конца балки в месте приложения силы (см. рис. 1) целесообразно применить теорему Кастильяно. Изгибающий момент в произвольном сечении равен

M = – Fz.

Рис. 1

Потенциальная энергия деформации согласно формуле (3) равна

.

Прогиб свободного конца согласно формуле (3) равен

(7)

Знак «плюс» у v указывает на то, что прогиб происходит в направлении действия силы.

Если прогиб надо определить не в точке приложения силы, а например, в точке В (см. рис. 2), то применим правило Верещагина.

К сечению, где надо определить прогиб, приложим единичную силу, направив ее вверх. Построим эпюры М и М ₁. Перемножив эти эпюры, получим:

(8)

Рисунок 2

Знак «минус» указывает на то, что прогиб происходит в направлении обратном единичной силе.