Производная в заданном направлении

Пусть ф-ция u = g(x,y,z) определена в окрестности т. М₀(x₀,y₀,z₀)

Пусть ā – единственный вектор с координатами ā = (Cosα, Cosβ, Cosγ)

│ā│= 1, α, β, γ – углы, которые вектор ā составляет с осями 0x, 0y, 0z

Проведем через М₀ ось Ī, направленную так же, как вектор ā

На оси Ī выберем т. М(x,y,z)

Обозначим l = │М₀М│

Тогда: x = x₀ + l*Cosα

y = y₀ + l*Cosβ

z = z₀ + l*Cos γ

Подставляем x, y, z в выражение u = f(x,y,z) получим сложную ф-цию переменной l. Если в т. l = 0 существует производная по переменной l, то она обозначается ∂u/∂l и наз-ся производной по направлению вектора Ī

По определению, производная ф-ции u = f(x,y,z) по направл-ю вектора Ī

∂u/∂l = lim_l→0 (f(M) – f(M₀))/l

Можно показать, что произв-я ∂u/∂l вычисляется по формуле:

∂u/∂l = ∂u/∂x*Cosα + ∂u/∂y*Cosβ + ∂u/∂z*Cos γ (1)

Если вектор Ī имеет координаты

Ī = (l_x, l_y, l_z), то Cosα = l_x/│Ī│; Cosβ = l_y/│Ī│; Cos γ = l_z/│Ī│

│Ī│ = √(l_x² + l_y² + l_z²)

Градиент ф-ции 2х и 3х переменных. Связь градиента и производной по направлению.

Опр. Градиентом ф-ции u = f(x,y,z) наз-ся вектор, координатами которого явл-ся частная производная этой ф-ции

grad u = (∂u/∂x; ∂u/∂y; ∂u/∂z) (2)

или grad u = ∂u/∂x*i^→ + ∂u/∂y*j^→ + ∂u/∂x*k^→ (3)

Градиент определяет направление наибольшего раста ф-ции.

Производная, вычисленная в направлении grad u, явл-ся наибольшей из производных вычисленных в любых других направлениях.

Рассм-м вектор ā = (Cosα, Cosβ, Cos γ) и вектор grad u = (∂u/∂x; ∂u/∂y; ∂u/∂z)

∂u/∂l = (ā, grad u) = │ā│*│grad u│* Cos φ, где φ – угол между вектором ā и вектором grad u

Т.к. │ā│=1, то ∂u/∂l = │grad u│* Cos φ

∂u/∂l max, если Cos φ = 1, т.е. φ = 0 и производная берется в направлении градиента

При этом ее значение (∂u/∂l)_max = │grad u│

В случае ф-ции 2х переменных:

u = f(x,y)

grad u = (∂u/∂x; ∂u/∂y)

Производная по направлению вектора

Ī = (l_x, l_y) определяется:

∂u/∂l = ∂u/∂x*Cosα + ∂u/∂y*Sinα

Cosα = l_x/│Ī│; Sinα = l_y/│Ī│

α – угол между Ī и осью 0x