Условный экстремум ф-ции 2х переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума

Дифференциалы высших порядков ф-ций многих переменных.

Опр. Диф-ом du ф-ции u = f(x₁, x₂, …, x_m) называется главная линейная относительно приращения аргументов часть полного приращ-я этой ф-ции.

(α - альфа)

Из формул ∆u = A₁∆x₁ + A₂∆x₂ + … + A_m∆x_m + α₁∆x₁ + + α₂∆x₂+ … + α_m∆x_m (2) и ∆u = ∆∂u/∂x₁ ∆x₁ + ∆∂u/∂x₂ ∆x₂ + … + ∆∂u/∂x_m ∆x_m + ō(ρ) (3) → du = A₁∆x₁ + A₂∆x₂ + … + A_m∆x_m = ∆∂u/∂x₁ ∆x₁ + ∆∂u/∂x₂ ∆x₂ + … + ∆∂u/∂x_m ∆x_m

Обозначим ∆x_i = dx_i, i = 1, 2, …, m

И назовем диф-лами независимых переменных

Формула для диф-ла 1го порядка

du = ∆∂u/∂x₁ ∆x₁ + ∆∂u/∂x₂ ∆x₂ + … + ∆∂u/∂x_m ∆x_m

u = f(x₁, x₂, …, x_m)

Диф-лы высших порядков.

1) Рассмотрим ф-цию u = f(x,y)

du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy - дифференциал 1го порядка

Дифференциал 2го порядка – диф-л от диф-ла 1го порядка

d²u = d(du) = d(∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy) = (∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy)’_x dx + (∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy)’_y dy = ∂²u/∂x² (dx)² + ∂²u/∂y∂x dxdy + ∂²u/∂x∂y dxdy + ∂²u/∂y² (dy)² = ∂²u/∂x² (dx)² + 2*∂²u/∂y∂x dxdy + ∂²u/∂y² (dy)²

формулу можно записывать в виде квадрата суммы d²u = (∂/∂x dx + ∂/∂y dy)²*u

Диф-л 3го порядка

d³u = d(d²u) = (∂/∂x dx + ∂/∂y dy)³*u = = ∂³u/∂x³ (dx)³ + 3*∂³u/∂x²∂y (dx)²dy + 3*∂³u/∂x∂y² dx(dy)² + ∂³u/∂y³ (dy)³

Аналогично диф-л n-го порядка

dⁿu = d(d^n-1u) = (∂/∂x dx + ∂/∂y dy)ⁿ*u

2) u = f(x₁, x₂, …, x_m)

Диф-л 1го порядка

du = ∂u/∂x₁ dx₁ + ∂u/∂x₂ dx₂ + … + ∂u/∂x_m dx_m

Диф-л 2го порядка

d²u = d(du) = (∂/∂x₁ dx₁ + ∂/∂x₂ dx₂ + … + ∂/∂x_m dx_m)²*u = ∑^m_(k=1)∑^m_(i=1) ∂²u/∂x_i∂x_k dx_idx_k

Аналогично диф-л n-го порядка

dⁿu = d(d^n-1u) = (∂/∂x₁ dx₁ + ∂/∂x₂ dx₂ + … + ∂/∂x_m dx_m)ⁿ*u

Локальные экстремумы ф-ций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума ф-ций многих переменных.

Опр. Точка М₀ называется точкой локального max (min) ф-ции u = f(M), если найдется такая окрестность точки M₀, что для всех М из этой окрестности справедливо неравенство

F(M₀) ≥ f(M) – max

(f(M₀) ≤ f(M) – min)

M₀(x⁰₁, x⁰₂, …, x⁰_m), M(x₁, x₂, …, x_m)

Если нер-ва строгие, т.е. f(M₀) > f(M) – M₀ – т. строгого max,

f(M₀) < f(M) – М₀ – т. строгого min.

Теорема1. (необходимое условие экстремума)

Пусть М₀(x⁰₁, x⁰₂, …, x⁰_m) – т. локального экстремума ф-ции u = f(M) = f(x₁, x₂, …, x_m). Тогда, если Ч. П. в т. М₀ существуют, то все они равны нулю

∂u/∂x₀│м₀ = 0, i = 1, 2, …, m

(М₀ наз-ся т-ой возможного экстремума или стационарной т-ой)

Следствие. Если М₀ – т. экст-ма ф-ции u = f(M), то ∂u│м₀ = 0

∂u│м₀ = ∂u/∂x₁│м₀ dx₁ + ∂u/∂x₂│м₀ dx₂ + … + ∂u/∂x_m│м₀ dx_m = 0

Если ∂u/∂x_i│м₀ = 0, или du│м₀ = 0, то М₀ – стационарная точка.

Условие является необходимым, но не явл-ся достаточным.

Теорема2. (достаточное условие экстремума)

Пусть ф-ция u = f(x₁, x₂, …, x_m) определена и имеет непрерывное произведение 2го порядка в окрестности стационарной т. М₀,

Тогда, если

1) 2й диф-циал d²u в т. М₀ положительно определен, то М₀ – т. min

2) 2й диф-циал d²u в т. М₀ отрицательно определен, то М₀ – т. max

3) 2й диф-циал d²u в т. М₀ знак не определен, то экстремум в М₀ нет

2й диф-л в т. М₀ опред-ся по формуле

d²u│м₀ = ∑^m_(i=1)∑^m_(k=1) ∂²u/∂x_i∂x_k│м₀ dx_idx_k

и явл-ся ф-цией (квадратичной формой) переменных dx₁, dx₂, …, dx_m.

Условный экстремум ф-ции 2х переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума.

Задача:

При каких х и у площадь прямоугольника будет наибольшей, при условии, что периметр фиксирован и равен l (эл)

Площадь: S=xy

Периметр: r(x+y) = l

Найти max ф-ции S=xy при условии 2х + 2у = l (ур-е связи)

Задача на условный экстремум.

Найти экст-м ф-ции z = f(x,y) при усл. Связи g(x,y) = 0

1й способ: Решаем ур-е связи g(x,y) = 0 относительно у

Подставляем ф-цию у = φ(х) в выражение z = f(x,y) = f(x, φ(х)) = F(x)

Ищем экст-м ф-ции одной переменной F(x)

Пример: S = xy; 2x+2y=l

Выразим y = (l/2 – x) и подставляем в ф-цию S = xy = х(l/2 – x) = (l/2)x – x²

Необходимое условие экстремума

S’ = l/2 – 2x = 0; x₀ = l/4 – стац-я т-ка

Достаточное усл-е

S’’ = -2 < 0 → x₀ = l/4 – т. max ф-ции S

Найдем у₀ = l/2 – x₀ = l/2 – l/4 = l/4

Т-ка (x₀, y₀) = (l/4, l/4) – т. условного max ф-ции S = xy

2й способ: Метод неопределенных множителей Лагранжа

Берем ф-цию Лагранжа: L(x,y,z) = f(x,y) + λg(x,y), где λ – число – неопределенный множитель Лагранжа.

Безусловный экстремум ф-ции L совподал с усл-ым экстремумом ф-ции z = f(x,y) при наличии связи g(x,y) = 0

Если М₀ – стац-я т-ка, то

L(M) – L(M₀) = f(M) – f(M₀) + λ(g(M) – g(M₀)) = f(M) – f(M₀)

Теорема. Пусть М₀(x₀y₀) т. условного экстремума ф-ции z = f(x,y) при условии g(x,y) = 0 и g(x₀,y₀) = 0

Тогда найдем такое число λ₀, что точка (x₀,y₀,λ₀) является стационарной точкой ф-ции L(x,y,λ)

Чтобы найти точку условного экстремума нужно

1. Решить систему уравнений

L’_x (x, y, λ) = f’_x (x,y) + λg’_x (x,y) = 0

L’_y (x, y, λ) = f’_y (x,y) + λg’_y (x,y) = 0

L’ _λ (x, y, λ) = g(x,y) = 0 (ур-е связи)

И найти стац-ю точку (x₀, y₀, λ₀)

2. Определить, является т. (x₀, y₀, λ₀) – т-ой условного экстремума ф-ции z = f(x,y) при условии g(x,y) = 0

Вычислить определитель

∆ =

	g’x(x0,y0)	g’y(x0,y0)
g’x(x0,y0)	L’x’x	L’x’y
g’y(x0,y0)	L’x’y	L’y’y

В т. (x₀, y₀, λ₀)

Если ∆>0, то М₀(x₀,y₀) – т. усл-го min

∆<0, то М₀(x₀,y₀) – т. усл-го max

∆=0 – экстремума нет.

Замечание: Достаточным условием наличия условного экстремума является знакоопределенность 2го диф-ла

d₂L│м₀ в точке М₀ с учетом связи g(x,y) = 0

Для этого из ур-я dg = d’_xdx + g’_ydy = 0

Выражают dy и подставляют в ур-е для d²L