Нелинейные цепи

Нелинейные цепи предполагают наличие нелинейных элементов, напряжения и токи в которых, связаны нелинейной зависимостью. К нелинейным элементам относятся диоды, транзисторы, а также нелинейные управляемые источники тока и напряжения. Нелинейные цепи описываются с помощью нелинейных уравнений.

Анализ нелинейных цепей будем также проводить с помощью метода узловых потенциалов. В отличие от линейных цепей, описываемых линейными уравнениями, токи в ветвях схемы, содержащих нелинейные элементы, будут выражаться через узловые напряжения нелинейными зависимостями.

Простейшим примером нелинейного элемента является диод, изображенный на рис. 3.4 а, б

а) б)

Рис. 3.4

Ток диода рис. 3.4 а описывается соотношением (3.1)

. (3.1)

Первый закон Кирхгофа, для цепи, изображенной на рис. 3.4 б описывается уравнением (3.2)

I1 = Iд + U_дY_н (3.2)

Подставляя (3.1) в (3.2) получим

(3.3)

Пример однокаскадного усилителя на биполярном транзисторе изображен на рис. 3.5 а, б

а) б)

Рис. 3.5

В этом примере схема усилительного каскада рис. 3.5 а заменена его математической моделью рис. 3.5 б, причем источник ЭДС Еист заменен источником тока и все сопротивления заменены соответствующими проводимостями. Биполярный р-n-р транзистор заменен его моделью Эберса-Молла.

Проводимость . Все что не входит в прямоугольник, обведенный пунктиром, составляет линейную часть нелинейной цепи и описывается с помощью метода узловых потенциалов обычным способом.

Определим матрицу Y с помощью правила составления матрицы для линейной цепи.

	Y1+Y12+Y13	-Y12	-Y13
	-Y12	Y2+Y12+Y24		-Y24
Y =	-Y13		Y13			(3.1)
		-Y24		Y24
					Y5

Для составления системы нелинейных уравнений матрица Y (3.1)

умножается на вектор-столбец узловых потенциалов U и к полученному вектору - столбцу добавляется вектор недостающих токов в узлах 3, 4, 5, а затем все это приравнивается к вектору – столбцу входных токов.

U1 0 0

U2 0 I1

Y U3 + Iэ – Ik = 0 (3.2)

U4 Ik 0

U5 Iэ 0

или Y U + B (U) = I

В скалярном виде система уравнений записывается следующим образом:

(Y1 + Y12 +Y13) U1 - Y12 U2 - Y13 U3 = 0

-Y12 U1 + (Y2 +Y12 +Y24) U2 – Y24 U4 = I1

-Y3 U1 +Y13 U3 +Iэ – Ik = 0 (3.3)

-Y24 U2 +Y24 U4 + Ik = 0

-Y5 U5 +Iэ = 0

В уравнениях (3.2), (3.3) токи Iб, Iк, Iэ заменяются уравнениями Эберса-Молла, связывающими токи через переходы с напряжениями на них. В итоге получается система нелинейных уравнений.