Методы описания кривых и поверхностей

- Неявные уравнения.

Неявные уравнения классифицируют все точки пространства на два множества; поэтому кривая или поверхность, каковые мы пытаемся таким образом определить, являются границей между этими двумя множествами. Простейший путь сделать это - вычислить значение функции f(x,y,z) в каждой точке пространства. Результат - число: если оно отрицательно, то точка - по одну сторону от поверхности или кривой; если положительно - по другую. Это можно трактовать как отображение из пространства на одномерную прямую линию.

Кривая или поверхность сама - это множество точек которые отображаются в начало этой прямой, т.е. точки, для которых f(x,y,z) = 0. Таким образом заданные кривые или поверхности называются неявными.

Примеры:

Прямая линия: ax+by+c = 0;

Сфера: r**2-(x-x0)**2-(y-y0)**2-(z-z0)**2 = 0.

- Параметрические уравнения.

Получается введением одной или более переменных (“параметров”) и вычисленим x, y, z функции от них:

x = f1(t,u,v,...)

y = f2(...)

z = f3(...........)...

параметры можно трактовать как другое множество координат; соответственно параметрические кривая или поверхность - это отображения в смысле, противоположном неявным: в случае кривой - переход от одномерной прямой линии в двух- или трехмерное пространство. Количество координат и количество параметров могут определяться независимо: например, можно выполнить отображение которое “забивает” двумерное пространство в 4-ч-мерное. Однако, обычно мы имеем функции одного параметра в двух или трех размерностях (плоская или пространственная кривая) и функции двух параметров в пространстве (поверхности).

Примеры:

Прямая линия:

x = x0+f*t y = y0+g*t

Сфера:

x = x0 + r*cos(A)*cos(B) y = y0 + r*sin(A)*sin(B) z = z0 + r*sin(B)

Здесь углы А и В - широта и долгота соответственно.