Введение в математический анализ
1.1. Определение и свойства предела последовательности.
Числовая последовательность.
Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие число , то говорят, что задана последовательность:
Общий элемент последовательности является функцией от :
Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.
Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример 1. или или
Для последовательностей можно определить следующие операции:
1) умножение последовательности на число : , т.е.
2) сложение (вычитание) последовательностей: ;
3) произведение последовательностей: ;
4) частное последовательностей: при .
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого n верно неравенство: т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку .
|
|
Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что: .
Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого существует такое число , что: .
Пример 2. – ограничена снизу .
Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется условие:
Это записывается: .
В этом случае говорят, что последовательность сходится к при .
Свойство: если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Пример 3. Доказать, что предел последовательности .
Пусть при верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример 4. Показать, что при последовательность имеет пределом число .
Итого: .
Очевидно, что существует такое число , что , т.е. .
Теорема 1. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела и , не равные друг другу: ; ; .
Тогда по определению существует такое число , что
Запишем выражение:
А т.к. - любое число, то , т.е. .
Теорема 2. Если , то .
Доказательство. Из следует, что . В то же время:
, т.е. , т.е. .
Теорема 3. Если , то последовательность ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предела, хотя
Монотонные последовательности.
|
|
1) Если для всех , то последовательность возрастающая.
2) Если для всех , то последовательность неубывающая.
3) Если для всех , то последовательность убывающая.
4)Если для всех , то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример 5. – убывающая и ограниченная – возрастающая и неограниченная.
Пример 6. Доказать, что последовательность монотонная возрастающая.
Найдем член последовательности
Найдем знак разности:
т.к. , то знаменатель положительный при любом .
Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример 7. Выяснить, является возрастающей или убывающей последовательность: .
Найдем . Найдем разность
т.к. , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема 4. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число.
Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого существует такое число , что , где – некоторая верхняя грань множества.
Т.к. - неубывающая последовательность, то при , .
Отсюда , или , т.е. .
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.
Число .
Рассмотрим последовательность
Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.
По формуле бинома Ньютона:
или, что то же самое
Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением :
Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: .
Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой :
Из неравенства следует, что . Отбрасывая в равенстве для все члены, начиная с четвертого, имеем:
переходя к пределу, получаем:
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа . Можно показать, что число иррациональное и его значение равно 2,71828…
Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа.
Предположим, что: , тогда
Найдем
Число является основанием натурального логарифма.
Выше представлен график функции
Связь натурального и десятичного логарифмов.
Пусть , тогда , следовательно .
,
где - модуль переход.
1.2 Определение и свойства предела функции.
Предел функции в точке.
y f(x)
A+e
A
A-e
0 a-D а a+D x
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (т.е. в самой точке функция может быть и не определена).
Число называется пределом функции при , если для любого существует такое число , что для всех таких, что: верно неравенство .
То же определение может быть записано в другом виде:
если , то верно неравенство .
Запись предела функции в точке:
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Число называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что для всех , выполняется неравенство:
При этом предполагается, что функция определена в окрестности бесконечности.
Записывают:
Графически можно представить:
y y
A A
0 0
x x
y y
A
A
0 x 0 x
Аналогично можно определить пределы для любого и для любого .
|
|
Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. , где .
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции и имеют конечные пределы при .
Теорема 2.
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4. при
Теорема 5. Если вблизи точки и , то .
Аналогично определяется знак предела при , , .
Теорема 6. Если вблизи точки и , то и .
Функция называется ограниченной вблизи точки , если существует такое число , что вблизи точки .
Теорема 7. Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена вблизи точки .
Доказательство. Пусть , т.е. , тогда или , т.е. где .
1.3. Замечательные пределы. Применение эквивалентных бесконечно малых величин к вычислению пределов.
Некоторые замечательные пределы.
, где , - многочлены.
Итого:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Часто, если непосредственное нахождение предела какой–либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример 8. Найти предел
Пример 9. Найти предел
Пример 10. Найти предел
Пример 11. Найти предел
Пример 12. Найти предел.
Пример 13. Найти предел .
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби:
Тогда
Пример 14. Найти предел
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение:
Пример 15. Найти предел
Пример 16. Найти предел .
Разложим числитель и знаменатель на множители:
тогда
Пример 17. Найти предел
Бесконечно малые функции.
Функция называется бесконечно малой при , где может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .
Бесконечно малой функция может быть только если указать, к какому значению стремится аргумент . При различных значениях функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример 18. Функция является бесконечно малой при и не является бесконечно малой при , т.к. .
|
|
Теорема 8. Для того, чтобы функция при имела предел, равный , необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки выполнялось условие: , где – бесконечно малая при ( при ).
Свойства бесконечно малых функций:
1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при тоже бесконечно малая функция при .
2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при тоже бесконечно малая функция при .
3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки , является бесконечно малой функцией при .
4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство свойства 2.
Представим , где , тогда , , – бесконечно малая, значит
Доказательство свойства 3.
Представим , где , тогда , , – бесконечно малые, значит