Индивидуалные задания по вводному курсу математики

ИНДИВИДУАЛНЫЕ ЗАДАНИЯ по вводному курсу математики

ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ

Условия к заданиям:

1. A, B - некоторые множества, ય - универсальное множество. Найдите A Ç B, A È B, A \ B, B \ A, A¢ D B, A¢, B¢.

2. На диаграмме Эйлера отметьте области, соответствующие данному множеству X.

3. Упростите теоретико-множественные выражения, заданные в пункте 2.

4. Высказывание задано формулой F, где A, B - высказывательные символы. Удалите все возможные скобки так, чтобы получилось высказывание, равносильное исходному. Затем расставьте приоритет выполнения операций и постройте таблицу истинности данного высказывания.

5. Упростите данную формулу исчисления высказываний.

6. P(x), T(x,y) - предикаты, определенные на множестве A. Найдите области истинности данных предикатов.

7. Найдите область истинности предиката P(x), определенного на множестве действительных чисел.

8. F - соответствие из A в B. Проверьте выполнимость свойств соответствия (всюду определенность, однозначность, разнозначность, соответствие «на»). Выясните, является ли данное соответствие отображением.

9. F - отображение из A в B. Проверьте выполнимость свойств отображения (инъективность, сюръективность, биективность).

10. r - бинарное отношение, определенное на множестве M. Проверьте выполнимость свойств бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность, антисимметричность, линейность).

11. Решите задачу по комбинаторике.

Вариант 1

1. 1) A = {2, 5, 4, 6, 7, 1}, B = {1, 4, 8, 9, 5}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-2; 9), B =(-¥; 0], ય = R.

2. 1) X = (A\B)¢ÇA; 2) X = ((A¢ \(C\B)¢)Ç(B\C).

3. См. пункт 2.

4. (((ù X) ® (ù (Z ® (ù Y)))) & (X ® Y))

5. X & ù Z ® (X «ù Y)

6. A = {0, -1, 3, 5, 4, 1, 2}; P(x) = «x ³ 3»; T(x,y) = «x - натуральный делитель числа y».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {2, 5, 4, 6}, B = {1, 8, 9, 5}, F = {(5,5), (4,1), (6,8), (2,9)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x - делитель числа y}.

9. A = N (множество натуральных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 7x²-2x+1.

10. M = Z (множество целых чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> (a + 1)b кратно 10.

11. На железнодорожной станции имеется 7 семафоров. Сколько может быть дано различных сигналов, если указателю каждого семафора можно дать три положения (красный, зеленый и желтый свет)?

Вариант 2

1. 1) A = {1, 5, 3, 7, 8}, B = {4, 8, 1, 6}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[12; +¥), B =(-3; 20], ય = R.

2. 1) X = AÇ(B\AÈB); 2) X = (AÈB¢)¢ È(C¢ \B)¢.

3. См. пункт 2.

4. (((Y & (ù X)) ® (ù Z)) ® (Y ® Z))

5. X «Y & ù Z ® Z V ù Y

6. A = {2, 1, 0, 4, 5}; P(x) = «x - простое число»; T(x,y) = «x+2y - делится на 3».

7. P(x) = «2çx-1ç+çx+3ç=10».

8. 1) A = {1, 3, 6, 8}, B = {4, 1, 6}, F = {(3,4), (1,6), (8,1), (6,4)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x-y - четное число}.

9. A = B = Q (множество рациональных чисел); "xÎA F(x) = ÷ x+2÷-4.

10. M - множество точек плоскости. На плоскости задана фиксированная окружность a. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> через точки A и B можно провести прямую, пересекающую a.

11. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?

Вариант 3

1. 1) A = {3, 4, 7, 2}, B = {9, 1, 2, 5, 3}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-13; -1), B =(-10; 10), ય = R.

2. 1) X = A\B¢ Ç(BÈA)¢; 2) X = (CÇB)\(AÈB¢ \C)¢.

3. См. пункт 2.

4. (X ® (ù ((X V Z) ® (ù Y))))

5. ù (ù X V ù Y) ® ù (X & Z ® ù Y)

6. A = {1, 3, 7, 2}; P(x) = «x²-5x > 0»; T(x,y) = «x-y - положительное четное число».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {4, 3, 9, 6}, B = {8, 6, 4, 3, 5}, F = {(3,5), (9,8), (4,4), (6,3)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x - остаток от деления y на 3}.

9. A = Q (множество рациональных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = ln x+5.

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> каждая цифра числа a меньше всех цифр числа b.

11. В магазине лежат 6 экземпляров романа И.С.Тургенева "Рудин", 3 экземпляра его же романа "Дворянское гнездо" и 4 экземпляра "Отцы и дети". Кроме того, есть 5 томов, содержащих романы "Рудин" и "Дворянское гнездо", и 7 томов, содержащих романы "Дворянское гнездо" и "Отцы и дети". Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?

Вариант 4

1. 1) A = {2, 4, 6, 7, 9}, B = {1, 4}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-¥; 9), B =(-3; +¥), ય = R.

2. 1) X = ((A¢ÇB)\A¢)¢; 2) X = AÈ((BÈC)ÇC¢)ÇB.

3. См. пункт 2.

4. (((X & (Y ® Z)) V Y) ® (ù X))

5. (X «ù Y) & Z ® ù X

6. A = {2, 1, 5}; P(x) = «3x+5 делится на 4»; T(x,y) = «xy - простое число».

7. P(x) = «2ç3x-1ç<4».

8. 1) A = {1, 3, 4, 9}, B = {4, 9, 1, 6}, F = {(3,1), (1,6), (9,6), (4,1)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x - произведение первой и последней цифр числа y}.

9. A = B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 3+2e^x+4.

10. M = Z (множество целых чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> |a + b| = b².

11. Во сколько чисел от 0 до 999 входит цифра 9?

Вариант 5

1. 1) A = {3, 2, 4, 6, 8, 1, 5}, B = {2, 8, 1, 9, 4, 3}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-7; 92], B =[-1; 100), ય = R.

2. 1) X = (A\B¢)¢ È(AÇB); 2) X = BÈ(CÈA¢)Ç(A\B)¢.

3. См. пункт 2.

4. (((X ® Y) ® Z) ® (ù Y))

5. X & Y ® (X V Z) ® ù Y

6. A = {4, 3, 0}; P(x) = «sin x > 0»; T(x,y) = «x²-3y = 0».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {4, 3, 5, 9}, B = {5, 9, 3, 7, 4}, F = {(4,4), (5,7), (9,3), (5,9), (3,5)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y = 2x-3}.

9. A = Q⁺ (множество положительных рациональных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M - множество точек плоскости. На плоскости заданы две фиксированные точки О₁ и О₂. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> AO₁ = BO₂.

11. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной.

Вариант 6

1. 1) A = {3, 9, 4, 6, 1}, B = {1, 8, 9, 5, 7}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[2; 22], B =(-¥; 10), ય = R.

2. 1) X = A¢È(AÇB\A); 2) X = (CÇA)È(B¢ \C)ÇA\C.

3. См. пункт 2.

4. ((Y & Z) «(((ù X) V Z) V (ù Y)))

5. X & ù Y V Z ® (Y ® Z)

6. A = {0, 2, 4, -4}; P(x) = «x-2 > 0»; T(x,y) = «Точка M(x,y) лежит внутри круга с центром в точке (0,0) радиуса 4».

7. P(x) = «ç2x+1ç-2çx-4ç=1».

8. 1) A = {4, 1, 5, 8}, B = {5, 1, 4}, F = {(4,4), (5,1), (8,4), (5,5), (1,5)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x²+y² = 9}.

9. A = N (множество натуральных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 4+sin(x+2).

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> a кратно b².

11. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (52 карты) по одной карте каждой масти при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?

Вариант 7

1. 1) A = {2, 7, 1}, B = {1, 8, 4, 6, 7, 9, 5}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-¥; 34], B =[20; +¥), ય = R.

2. 1) X = BÈ(AÈ(BÇA))¢; 2) X = (C\B)ÇA¢ È(A\C)¢.

3. См. пункт 2.

4. ((ù (Z ® X)) ® (ù (Y & X)))

5. ù Y® X & ù Z ® ù X V Y

6. A = {4, 0, -2, 3}; P(x) = «(x+2)(x-3) ¹ 0»; T(x,y) = «x кратно 2y».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {3, 1, 2, 9}, B = {3, 5, 8, 7, 2, 4}, F = {(1,4), (9,5), (2,7), (3,3), (1,8)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) çесли x>5, то y = x, иначе y = 4x-1}.

9. A = Z⁺ (множество положительных целых чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M - множество точек плоскости. На плоскости задана фиксированная прямая a. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> через точки A и B можно провести прямую перпендикулярную a.

11. Во сколько чисел от 0 до 999 входит цифра 0?

Вариант 8

1. 1) A = {1, 2, 6, 4, 7}, B = {4, 8, 2, 5}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-11; +¥), B =[-22; 30], ય = R.

2. 1) X = A\BÇ(BÇA¢)ÈA; 2) X = ((CÈB)ÇA¢)¢ ÈC\B.

3. См. пункт 2.

4. ((ù (Z ® X)) ® (ù (Y & X)))

5. ù (X®ù Z)® ((X V Z) & ù Y)

6. A = {0, -3, -2, -4}; P(x) = «x³+8 < 0»; T(x,y) = «x+y Î [-2; 0]».

7. P(x) = «4ç3-2xç>2».

8. 1) A = {4, 2, 8, 7}, B = {1, 4, 2, 5}, F = {(7,4), (2,5), (2,4), (4,2), (8,2)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x делится на y}.

9. A = Z (множество целых чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 3x²-x+3.

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> каждая цифра числа a равна некоторой цифре числа b.

11. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен? (Последовательность перечисления имен одного ребенка важна.)

Вариант 9

1. 1) A = {9, 8, 5, 7, 1}, B = {1, 8, 4, 5, 6, 7}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-2; +¥), B =[7; 10), ય = R.

2. 1) X = B¢ È(A\B)¢ÇA; 2) X = A¢ \(AÇB)Ç(CÈB)¢.

3. См. пункт 2.

4. ((((ù X) V (ù Y)) & (ù X)) ® (ù Z))

5. (X ® ù (Y V Z)) ® ù X

6. A = {0, 4, -4}; P(x) = «x - корень уравнения a²-4a+4 = 0 (a - переменная)»; T(x,y) = «Точка M(x,y) принадлежит окружности с центром (-1, 0) радиуса 3».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {3, 4, 2, 9, 8, 1}, B = {1, 7, 2, 6}, F = {(4,1), (2,7), (9,6), (8,2)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç 2x+y - нечетное число}.

9. A = Z (множество целых чисел); B = Q (множество рациональных чисел); "xÎA F(x) = ÷ x-2÷/4.

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> a² + b² = 50.

11. Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся на 5?

Вариант 10

1. 1) A = {5, 7, 9, 3}, B = {1, 7, 9, 4, 8, 2}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-32; 48), B =[5; 60], ય = R.

2. 1) X = A\(B¢ÈA)ÇA; 2) X = (AÈC¢)¢ Ç(BÈA\C).

3. См. пункт 2.

4. ((ù Y) ® ((ù (X ® Y)) V (ù (X & (ù Z)))))

5. (ù (Y ® Z) ® ù (Z & ù X)) & ù Y

6. A = {5, 4, -3, 1, -8}; P(x) = «çx-4ç - простое натуральное число»; T(x,y) = «x² = y³».

7. P(x) = «ç3x+10ç-3=çx+3ç».

8. 1) A = {1, 4, 5, 8, 6}, B = {4, 1, 2}, F = {(1,1), (5,4), (6,4), (8,2)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y - неполное частное от деления x на 8}.

9. A = Z (множество целых чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = log₃(x-2).

10. M - множество точек плоскости. На плоскости заданы две фиксированные точки О₁ и О₂. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> AO₁ = 2BO₂.

11. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хоть один туз?

Вариант 11

1. 1) A = {1, 3, 2, 9, 5, 4, 6}, B = {4, 1, 8, 9, 6}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(4; 19), B =(-¥; 10), ય = R.

2. 1) X = BÇ(AÈB¢)¢ \A; 2) X = A\B¢ Ç(AÈC)\B.

3. См. пункт 2.

4. ((Z ® ((ù X) & Y)) & (Y V (ù (Y ® (ù Z)))))

5. (ù Y ® ù Z) & (X ® Y & ù X)

6. A = {p+2, , , 2}; P(x) = «Число x - рациональное»; T(x,y) = «».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {8, 9, 1, 5, 6}, B = {3, 4, 6, 2, 7}, F = {(1,3), (5,4), (6,2), (9,7)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y - результат вычитания числа x из суммы цифр числа x}.

9. A = Q (множество рациональных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = -4+6^x-3.

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> a³ кратно b².

11. У отца есть 5 попарно различных апельсинов, которые он выдает своим восьми сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 12

1. 1) A = {7, 4, 2, 5, 6}, B = {1, 9, 4, 7}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-18; 91], B =(-3; +¥), ય = R.

2. 1) X = (A\B)¢ÈA¢ÇB; 2) X = B\CÈ(A\B)ÇA\B¢.

3. См. пункт 2.

4, (((ù Y) & (ù X)) ® (ù (Y V Z)))

5. ù (X ® ù Z) & ù (Y ® (X ® Z))

6. A = { , , -1, }; P(x) = «»; T(x,y) = «x+y - целое число».

7. P(x) = «ç4x-6ç£10».

8. 1) A = {9, 1, 2, 6, 8}, B = {4, 1, 2, 8, 7}, F = {(9,1), (2,8), (6,1), (8,7)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y = x²-3x+8}.

9. A = N (множество натуральных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> каждая цифра числа a меньше некоторой цифры числа b.

11. Во сколько чисел от 0 до 999 цифра 0 входит более одного раза?

Вариант 13

1. 1) A = {3, 2}, B = {1, 3, 5, 7, 4, 9, 2}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-¥; 79), B =[-5; +¥), ય = R.

2. 1) X = (BÇA¢)È(B\A); 2) X = B\A¢Ç(A\C¢)ÇB.

3. См. пункт 2.

4. (((ù X) ® (ù Y)) & ((ù Z) V Y))

5. (X ® ù (Y ® ù Z)) ® ù (X & Y)

6. A = {3, , 6}; P(x) = «çx-5ç+çx+3ç=3»; T(x,y) = « - целое число».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {2, 8, 1, 4, 7}, B = {1, 4, 8, 7}, F = {(1,8), (8,4), (4,1), (1,7)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç (x-1)²+y² ³ 4}.

9. A = Q (множество рациональных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 4-3×sin x.

10. M - множество точек плоскости. На плоскости задана фиксированная прямая a. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> Отрезок AB имеет общие точки с прямой a.

11. Сколько можно сделать перестановок из 15 элементов, в которых данные три элемента a, b, c не стоят рядом (в любом порядке)?

Вариант 14

1. 1) A = {8, 2, 9, 5, 6}, B = {8, 9, 4, 6, 5, 1}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-4; +¥), B =(-15; 0), ય = R.

2. 1) X = A¢È(BÇA)\B; 2) X = C\((BÇA)ÈC)¢ È(A\C).

3. См. пункт 2.

4. (X ® ((ù Y) ® (Z & (ù X))))

5. ù Z V (X ® ù (Z V Y) & (X ® Y))

6. A = {6, 4, 3}; P(x) = «x+3 кратно x»; T(x,y) = «-x+2y - корень уравнения ».

7. P(x) = «çx-8ç-4çx+3ç+39=0».

8. 1) A = {2, 1, 5, 8, 7}, B = {2, 1, 4, 5}, F = {(1,1), (8,4), (2,2), (1,5), (8,1)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) çесли x делится на 2, то y = 3x, иначе y = x²}.

9. A = R⁺ (множество положительных действительных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M = Z (множество целых чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> |a + b| = -b.

11. Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых бусинок и двух большого размера?

Вариант 15

1. 1) A = {9, 2, 4, 7, 1, 3, 5}, B = {5, 1, 8, 7, 9}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-12; 29], B =(4; 70], ય = R.

2. 1) X = (BÈA)Ç(B\A¢); 2) X = ((C\B)ÈA)È(AÇB¢)¢.

3. См. пункт 2.

4. ((X & (ù Z)) ® (X «(ù Y)))

5. (ù X ® ù (Z ® ù Y)) & (X ® Y)

6. A = {0, -1, 15}; P(x) = «-3< x £ 12»; T(x,y) = «x делит y+1».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {5, 2, 6, 7, 4}, B = {1, 8, 4, 7, 5, 9}, F = {(6,1), (5,4), (4,8), (5,5), (2,7)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y - делитель числа x}.

9. A = B = N (множество натуральных чисел); "xÎA F(x) = x²-2x+2.

10. M - множество точек плоскости. На плоскости заданы две фиксированные точки О₁ и О₂. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> AO₁ < BO₂.

11. Во сколько чисел от 0 до 999 входят цифры 9 и 0?

Вариант 16

1. 1) A = {6, 4, 2, 5, 9, 1}, B = {9, 3, 1, 8}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-¥; 93], B =[8; 110], ય = R.

2. 1) X = AÈ(B\AÇA)¢; 2) X = (A¢ÇB)\(A\C)ÈB¢.

3. См. пункт 2.

4. (X «((Y & (ù Z)) ® (Z V (ù Y))))

5. ((Y & ù X) ® ù Z) ® (Y ® Z)

6. A = {1, -3}; P(x) = «5x > çx+2ç»; T(x,y) = «2x+y - отрицательное нечетное число».

7. P(x) = «4çx-2ç³3».

8. 1) A = {3, 4, 1, 7}, B = {9, 1, 4, 7, 2}, F = {(1,7), (3,4), (4,7), (3,9)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç 2x-3y - четное число}.

9. A = Z (множество целых чисел); B = N (множество натуральных чисел); "xÎA F(x) = 3÷ x-5÷+2.

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> первая цифра числа a меньше, либо равна некоторой цифре числа b.

11. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из 1 офицера, 2 сержантов и 20 рядовых?

Вариант 17

1. 1) A = {6, 7, 1}, B = {1, 5, 4, 7, 2}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-9; 33), B =(-1; +¥), ય = R.

2. 1) X = (A¢ÇB¢)È(B\A); 2) X = (C\((BÇA)¢ÇA))¢ÈC.

3. См. пункт 2.

4. ((ù ((ù X) V (ù Y))) ® (ù ((X & Z) ® (ù Y))))

5. X ® ù ((X V Z) ® ù Y)

6. A = {1, 5, 13, 15}; P(x) = «x+11 делится на 6»; T(x,y) = «x - простой делитель числа y».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {1, 5, 3, 8}, B = {2, 4, 9, 5}, F = {(5,5), (3,2), (8,4), (1,9)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y - остаток от деления x на 4}.

9. A = N (множество натуральных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 3×lg(4x+2).

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> ab² кратно 12.

11. Сколько восьмизначных чисел делится на 5?

Вариант 18

1. 1) A = {1, 4, 5, 9, 2, 7, 8}, B = {1, 2, 4, 9, 5, 6}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-12; 78), B =[-3; +¥), ય = R.

2. 1) X = BÇ(AÈB¢)\B¢; 2) X = (C¢ \B)Ç(A\B)¢ ÈC.

3. См. пункт 2.

4. (((X «(ù Y)) & Z) ® (ù X))

5. X & (Y ® Z) V Y ® ù X

6. A = {-2, -1, 0}; P(x) = «x+3 - простое число»; T(x,y) = «çxç-3y кратно 5».

7. P(x) = «-2ç3x+1ç+ç-x+4ç=1».

8. 1) A = {4, 2, 6, 1}, B = {4, 2, 9}, F = {(2,4), (4,9), (1,2), (6,4)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y - квадрат первой цифры числа x}.

9. A = Z (множество целых чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 7-4×3^x.

10. M - множество точек плоскости. На плоскости задана фиксированная прямая a. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> прямая a проходит через внутреннюю точку отрезка AB.

11. Сколькими способами можно составить подарочный набор из 3 предметов, если в магазине имеется 7 наименований?

Вариант 19

1. 1) A = {3, 5, 1, 4}, B = {7, 1, 4, 8, 6}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(32; 97], B =(-4; 70), ય = R.

2. 1) X = (A¢ÇB¢)\(A\B¢); 2) X = CÇ((A¢ÈB)ÇC)\B¢.

3. См. пункт 2.

4. (((X & Y) ® (X V Z)) ® (ù Y))

5. ((X ® Y) ® Z) ® ù Y

6. A = { , 0, }; P(x) = «»; T(x,y) = «sin x-3y = 0».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {8, 2, 9, 7}, B = {1, 6, 2, 3, 4}, F = {(2,4), (9,1), (8,2), (7,3)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y = 4x+8}.

9. A = R⁺ (множество положительных действительных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> a² + b² = 37.

11. Сколько существует 6-значных нечетных чисел, сумма первой и последней цифры у которых является нечетным числом?

Вариант 20

1. 1) A = {6, 7, 9, 2, 1}, B = {5, 1, 8, 2, 9}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-52; +¥), B =(-¥; 60), ય = R.

2. 1) X = B¢ È(A¢Ç(A\B)); 2) X = (A\C)¢ Ç(CÇB)ÈC¢.

3. См. пункт 2.

4. (((X & (ù Y)) V Z) ® (Y ® Z))

5. Y & Z «ù X V Z V ù Y

6. A = {0, 2, -3}; P(x) = «-3x+2 > x²»; T(x,y) = «Точка M(x,y) лежит во второй четверти декартовой плоскости».

7. P(x) = «3ç4-2xç<4».

8. 1) A = {8, 3, 5, 1}, B = {5, 8, 1, 2}, F = {(3,1), (8,2), (1,2), (5,1)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y² ³ x²}.

9. A = Z (множество целых чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = -2×sin(2x).

10. M - множество точек плоскости. На плоскости заданы две фиксированные точки О₁ и О₂. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> 2AO₁ = BO₂.

11. Сколькими способами можно составить расписание из 4 уроков на 1 день, если изучаются 8 предметов? (Считайте, что одинаковых уроков нет.)

Вариант 21

1. 1) A = {9, 2, 7, 5}, B = {2, 6, 1, 4, 8, 5, 9}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(2; +¥), B =(-5; 10], ય = R.

2. 1) X = (B\A)Ç(B¢ \A)¢; 2) X = (C¢ \B¢)È(AÈBÇA).

3. См. пункт 2.

4. (((ù Y)® (X & (ù Z))) ® ((ù X) V Y))

5. ù (Z ® X) ® ù (Y & X)

6. A = {7, 8, -3}; P(x) = «(x+3)(x²-7) = 0»; T(x,y) = «3x кратно -4y».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {1, 3, 6, 2}, B = {1, 9, 3, 6, 4}, F = {(1,4), (6,6), (2,3), (6,9), (3,1)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) çесли x Î (-¥; -5) È [0; 4), то y = 5x+1, иначе y = x+1}.

9. A = N (множество натуральных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> последние цифры чисел a и b равны.

11. Во сколько чисел от 0 до 999 цифра 9 входит ровно два раза?

Вариант 22

1. 1) A = {1, 3, 2, 4, 9, 6, 7}, B = {1, 4, 7, 8, 9}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-28; 45], B =(-¥; 10], ય = R.

2. 1) X = A\B¢ È(AÇB); 2) X = ((CÈB)Ç(A\B)ÈC¢)¢.

3. См. пункт 2.

4. ((ù (X®(ù Z)))® ((X V Z) & (ù Y)))

5. X V (Z & ù Y) ® ù X V Z

6. A = {2, -1, 1}; P(x) = «x³-1 ³ 0»; T(x,y) = «Точка M(x,y) принадлежит прямой, проходящей через точку (4, 1) параллельно оси абсцисс».

7. P(x) = «ç3x+11ç-2çx-2ç+3 = 0».

8. 1) A = {9, 2, 4, 8}, B = {5, 3, 9}, F = {(9,9), (4,3), (8,9), (4,5), (2,5)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y делится на x}.

9. A = B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 4x²+2x-5.

10. M = Z (множество целых чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> (a + 3)b кратно 8.

11. Сколькими способами можно выбрать четное число предметов из 2n различных предметов?

Вариант 23

1. 1) A = {3, 7, 8, 4, 1}, B = {4, 9, 1, 5, 3}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-¥; 88], B =[-5; 90), ય = R.

2. 1) X = (AÈB)ÈA¢ \B¢; 2) X = (CÈ(A¢ \B))¢ Ç(AÇC).

3. См. пункт 2.

4. ((X ® (ù (Y V Z))) ® (ù X))

5. (ù X V ù Y) & ù X ® ù Z

6. A = {1, -4}; P(x) = «3x - корень уравнения a²-2a-3 = 0»; T(x,y) = «xy Î (-4; +¥)».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {3, 1, 7, 4}, B = {1, 5, 6, 7, 2, 3}, F = {(1,3), (4,5), (7,7), (3,1), (1,6)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y-4x - нечетное число}.

9. A = B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 3÷ 4x+1÷-6.

10. M - множество точек плоскости. На плоскости задана фиксированная прямая a. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> через точки A и B можно провести прямую параллельную a.

11. В танцевальном зале 20 юношей и 10 девушек. Сколько может быть всех танцевальных пар, если танцуют только девушка и юноша?

Вариант 24

1. 1) A = {8, 6, 2, 5}, B = {9, 7, 4, 8, 5}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-¥; 47), B =[-6; 90], ય = R.

2. 1) X = AÇB¢ È(A\B); 2) X = (AÈC)¢ Ç(B\AÈC¢).

3. См. пункт 2.

4. (((ù (Y ® Z)) ® (ù (Z & (ù X)))) & (ù Y))

5. ù Y ® ù (X ® Y) V ù (X & ù Z)

6. A = {4, 3, 6}; P(x) = «3x+2 - простое число»; T(x,y) = «2x² = 3y».

7. P(x) = «ç4x+1ç>4».

8. 1) A = {9, 6, 8, 1}, B = {3, 4, 1, 5}, F = {(1,4), (6,5), (6,4), (9,1), (8,1)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x - неполное частное от деления y на 6}.

9. A = B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 4-log₅(x+1).

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> a³ = b².

11. Имеется 6 шаров: 3 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий. Сколькими различными способами можно разложить их в ряд по четыре?

Вариант 25

1. 1) A = {6, 2, 4, 7, 9, 1}, B = {8, 1, 4, 9, 7}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-13; +¥), B =(-6; +¥), ય = R.

2. 1) X = BÈ(AÇB)¢ \A¢; 2) X = ((BÈA)ÇC¢)¢ \A¢.

3. См. пункт 2.

4. (((ù Y) ® (ù Z)) & (X ® (Y & (ù X))))

5. (Z ® ù X & Y) & (Y V ù (Y ® ù Z))

6. A = { , , }; P(x) = «Число x - иррациональное»; T(x,y) = «».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {7, 4, 2, 3, 8, 5}, B = {4, 8, 2, 1}, F = {(4,4), (2,8), (3,1), (8,2)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x - суммы всех цифр числа y и самого числа y}.

9. A = N (множество натуральных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 2^1-3x.

10. M - множество точек плоскости. На плоскости заданы две фиксированные точки О₁ и О₂. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> отрезки AO₁ и BO₂ пересекаются.

11. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три нечетные? (В числе нет одинаковых цифр.)

Вариант 26

1. 1) A = {4, 5, 8, 1, 2, 6, 7}, B = {7, 9, 1, 5}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-7; 14], B =(-¥; 6], ય = R.

2. 1) X = B\(AÈB¢)¢ ÇA; 2) X = CÇ(A¢ ÈB)Ç(C\B)¢.

3. См. пункт 2.

4. ((ù (X ® (ù Z))) & (ù (Y ® (X ® Z))))

5. ù Y & ù X ® ù (Y V Z)

6. A = {2, , -1}; P(x) = «»; T(x,y) = «2x-y - натуральное число».

7. P(x) = «-çx-1ç+2ç3x+2ç=15».

8. 1) A = {2, 4, 7, 9, 1}, B = {9, 1, 5}, F = {(2,1), (7,9), (1,9), (9,5)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç y = 3x²+x-1}.

9. A = Z⁺ (множество положительных целых чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> ab² кратно 54.

11. Сколько четных четырехзначных чисел можно изобразить цифрами 2,3,5,7? (Рассмотрите случай, когда формируется число без повторяющихся цифр, и случай, когда цифры могут повторяться.)

Вариант 27

1. 1) A = {7, 3, 1, 2, 5}, B = {1, 8, 6, 9, 5, 3, 4}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =(-32; 79), B =(-4; 85], ય = R.

2. 1) X = ((BÈA)ÇA¢)¢ ÇB; 2) X = (C¢ ÇB)\((AÈB)¢ \C).

3. См. пункт 2.

4. ((X ® (ù (Y ® (ù Z)))) ® (ù (X & Y)))

5. (ù X ® ù Y) & (ù Z V Y)

6. A = {4, 3, 8}; P(x) = «çx+2ç-çx-4ç=6»; T(x,y) = « - целое число».

7. P(x) = «».

8. 1) A = {4, 2, 1, 7, 3}, B = {1, 4, 5, 2, 9}, F = {(1,1), (7,4), (3,2), (2,9)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) ç x²+y² < 4}.

9. A = B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = 3-sin(x+5).

10. M - множество точек плоскости. На плоскости задана фиксированная окружность a. Бинарное отношение r задано по правилу: A r B <=> Отрезок AB имеет общие точки с окружностью a.

11. Сколько пятизначных чисел, кратных 5, можно изобразить цифрами 0,1,2,3,5? (Рассмотрите случай, когда формируется число без повторяющихся цифр, и случай, когда цифры могут повторяться.)

Вариант 28

1. 1) A = {5, 6, 1}, B = {8, 2, 1, 5, 4, 9, 3}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A =[-3; 59], B =(-18; 40), ય = R.

2. 1) X = BÇ(A\B)ÇA¢; 2) X = CÇ(A¢ \B)¢ È(AÈC).

3. См. пункт 2.

4. ((ù Z) V (X ® ((ù (Z V Y)) & (X ® Y))))

5. X ® (ù Y ® Z & ù X)

6. A = {2, 4, 3}; P(x) = «2x-5 делит x»; T(x,y) = «y-x - корень уравнения ».

7. P(x) = «5ç3-4xç£14».

8. 1) A = {5, 3, 2, 9, 4}, B = {5, 3, 2, 8, 1}, F = {(5,3), (2,8), (9,3), (4,1)};

2) A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y) çесли x - простое число, то y = 2x, иначе y = 4x}.

9. A = Q⁺ (множество положительных рациональных чисел); B = R (множество действительных чисел); "xÎA F(x) = .

10. M = Z (множество целых чисел). Бинарное отношение r задано по правилу: a r b <=> a² + b² = 19.

11. Сколько существует 6-значных нечетных чисел, сумма первой и последней цифры у которых является нечетным числом?

ИНДИВИДУАЛНЫЕ ЗАДАНИЯ по вводному курсу математики