Если отношение порядка обладает еще свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением линейного порядка, так как обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и связности.

Определение. Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если задать на нем отношение «меньше».

Если отношение порядка, заданное на множестве Х, обладает свойством связности, то говорят, что оно линейно упорядочивает множество Х.

Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с помощью отношения «меньше», и помощью отношения «кратно» – оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натуральных чисел линейно.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное количество отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

Цель. Выяснить на практике свойства, которыми могут обладать отношения: рефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, связности. Раскрыть взаимосвязь между отношением эквивалентности на множестве и разбиением этого множества на классы.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Понятие отношения между элементами одного множества.

2. Способы задания отношений.

3. Свойства бинарных отношений.

4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

Основные понятия темы

Ø бинарное отношение на множестве;

Ø отношение эквивалентности;

Ø отношение порядка

Свойства отношений

Ø рефлексивность;

Ø симметричность;

Ø антисимметричность;

Ø транзитивность;

Ø связность

Определения, замечания, выводы

Ø В зависимости от свойств отношения делятся на отношения эквивалентности, отношения порядка и отношения, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

Ø Существует взаимосвязь между отношением эквивалентности на множестве Х и разбиением этого множества ни классы.