Супремум и инфимум

Рассмотрим линейное множество.

Определение 31. Множество А называется ограниченным сверху (снизу), если существует число b такое, что для любого элемента выполняется условие: . Число b называется верхней (нижней) гранью множества.

Определение 32. Множество ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным.

Примеры 1) ограниченного множества – (a, b), [ a, b ], 2) ограниченного сверху множества – (–∞, а ], 3) ограниченного снизу множества – (а, ∞).

Любое ограниченное сверху (снизу) множество А имеет бесконечно много верхних (нижних) граней, образующих множество чисел, ограничивающих множество А сверху (снизу).

Пусть b – верхняя грань, тогда b ^/ такое что b ^/ > b, также верхняя грань.

Определение 33. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество А сверху, называется точной верхней гранью множества А или супремумом и обозначается . Наибольшее из чисел, ограничивающих множество А снизу, называется точной нижней гранью множества А или инфимумом и обозначается

Примеры: 1) Х = (a, b), тогда = а, 2) А = (а, +∞), тогда = а, не существует.

Теорема 3. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.