Понятие центральной предельной теоремы

При суммировании достаточно большого числа СВ закон распр. суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении нек. условий. Эти усл., которые мат. можно сформулировать разл. образом – в более или менее общем виде, - по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отд. слагаемых было равномерно малым, т.е. чтобы в состав суммы не входили члены, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Различные формы центральной предельной теоремы(ЦПТ) различаются между собой теми условиями, для кот. устанавливается это предельное св-во суммы СВ. В ЦПТ рассматриваются законы распр. случ. величин. Согласно ЦПТ, закон распр. суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, сколь угодно близко к нормальному. В практических задачах ЦПТ часто используют для вычисления вер. того, что сумма нескольких СВ окажется в заданных пределах. Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые СВ с мат. ожиданиями m₁, m₂, …,m_n и дисперсиями D₁, D₂, …, D_n. Предположим, что условия ЦПТ выполнены (вел-ны Х₁, Х₂, …, Х_n сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы) и число слагаемых n достаточно для того, чтобы закон распр. вел-ны можно было считать приближенно нормальным. Тогда вер. того, что СВ Y попадает в пределы участка (α, β), выражается формулой P(α <Y<β)= - формула (1), где m_y, σ_y – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение вел-ны Y, Φ^* – нормальная ф-ция распр..

Заметим, что ЦПТ может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным СВ при усл., что мы будем оперировать не плотностями, а ф-циями распр.. Действительно, если вел-ны Х₁, Х₂, …, Х_n дискретны, то их сумма Х – также дискретная СВ и поэтому, строго говоря не может подчиняться нормальному закону. Однако все формулы типа формулы (1) остаются в силе, так как в них фигурируют не плотности, а ф-ции распр. Частным случаем ЦПТ для ДСВ является теорема Лапласа.