Закон распределения линейной ф-ции от аргумента, подчиненного нормальному закону

Пусть СВ Х подчинена нормальному закону с плотностью: f(x) = , а СВ Y связана с нею линейной функцианальной зависимостью: Y = aX+b, где a и b – неслуч. коэффициенты. Требуется найти закон распр. вел-ны Y. Т.к. ф-ция y = ax+b мон-на (при a>0 возрастает мон-но, при a<0 убывает мон-но), то плотность распр., согласно формуле g(y) = f(Æ (y)) |Æ'(y)|, будет равна g(y) = , где x = Æ (y) = (y – b)/a; |Æ'(y)| =1/|a|. (таблица не обязательна!!!)

Преобразуя выражение g(y), имеем: g(y) = , а это есть не что иное, как нормальный закон с параметрами: . Если перейти от средних квадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим E_y = |a|E_x. Т.о., мы убедились, что лин. ф-ция от аргумента, подчиненному нормальному закону, также подчинена нормальному закону. Чтобы найти центр рассеивания этого закона, нужно в выражение линейной ф-ции вместо аргумента подставить его центр рассеивания. Чтобы найти ср. квадратич. отклонение этого закона, нужно ср. квадратич. отклонение аргумента умножить на модуль коэф. при аргументе в выражении линейной ф-ции. То же правило справедливо и для вероятных отклонений.
38. Закон распределения монотонной ф-ции одного случайного аргумента.

Везде вместо Æ надо писать y.

Имеется НСВ Х с плотностью распр. f(x). Другая СВ Y связана с нею функцианальной зависимостью: Y =φ(X). Требуется найти плотность распр. вел-ны Y. Рассмотрим участок оси абсцисс (a, b), на котором лежат все возм. знач. вел-ны Х, т.е. P(a<X<b) = 1. В частном случае, когда область возм. знач. Х ничем не ограничена, a = —∞; b = +∞. Способ решения поставленной задачи зависит от поведения ф-ции φ на участке (a, b): возрастает ли она на этом участке или убывает, или колеблется. Рассмотрим случай, когда ф-ция y= φ(x) на участке (a, b) монотонна. При этом отдельно проанализируем 2 случая: мон. возрастания и мон. убывания ф-ции.

Ф-ция y= φ(x) на участке (a, b) мон-но возрастает. Когда вел-на Х принимает разл. знач. на участке (a, b), случ. точка (X, Y) перемещается только по кривой y= φ(x); ордината этой точки полностью опр-ся ее абсциссой. Обозначим g(y) плотность распр. вел-ны Y. Для того чтобы определить g(y), найдем сначала ф-цию распр. вел-ны Y: G(y) = P(Y<y). Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее. Чтобы выполнить условие Y<y, случ. точка (X, Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы СВ Х попала на участок оси абсцисс от a до x, где х – абсцисса точки пересечения кривой y= φ(x) и прямой АВ. Следовательно, G(y) = P(Y<y) = P(a<X<х) = . Верхний предел интеграла x можно выразить через y: x = Æ (y), где Æ – ф-ция, обратная ф-ции φ. Тогда G(y) = . Дифференцируя последний интеграл по переменной y, входящей в верхний предел, получим: g(y) = G'(y) = f(Æ (y)) Æ'(y) – формула (1).

Ф-ция y= φ(x) на участке (a, b) монотонно убывает. В этом случае G(y) = P(Y<y) = P(x<X<b) = , откуда g(y) = G'(y) = —f(Æ (y)) Æ'(y) – формула (2). Сравнивая формулы (1) и (2), замечаем, что они могут быть объединены в одну: g(y) = f(Æ (y)) |Æ'(y)| - формула (3). Действительно, когда φ возрастает, ее производная (а значит и Æ') полож. При убыв. ф-ции φ производная Æ' отрицательна. Сл-но, формула (3), в кот. производная берется по модулю, верна в обоих случаях. Т. о., задача о законе распр. мон. ф-ции решена.