Уточнение вероятностей гипотез. Формула Бейеса

Пусть В₁,..., В_n – несовместные события (гипотезы), образующие полную группу, т.е. å Р (В_i) _i=1,...,n = 1. Произведен опыт, в результате которого произошло событие A. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события. Иначе, необходимо найти условную вероятность для каждой гипотезы В_i в предположении, что событие А произошло, т е. Р_А (В_i). Эти вероятности определяются так называемой формулой Бейеса:

Р_А (В_i) = Р (В_i) × (1.10)

Пример.

На строительство тоннеля пришли тюбинги с двух заводов. Известно, что тюбинги завода №1 имеют надежность 95% (т.е. брак – 5%), а завод №2 – 97%. Завод №1 поставил 60% тюбингов, а завод №2 – 40%, т.е. первоначальная вероятность, что наудачу выбранный тюбинг окажется изготовленным на заводе №1, равна 0,6, а на заводе №2 – 0,4. Наудачу выбранный тюбинг оказался качественным. Покажем, как изменятся наши представления о вероятности принадлежности этого качественного тюбинга тому или иному заводу. Вероятность, что тюбинг будет принадлежать заводу №1, по формуле Бейеса равна:

Р _№1 = 0,6 × 0,95 / (0,6 × 0,95 + 0,4 × 0,97) = 0,57 / (0,57 + 0,39) = 0,57 / 0,96 = 0,59; соответственно Р _№2 = 0,41.