События. Операции над событиями
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. «Случайное событие» (или просто «событие») следует рассматривать как исходное неопределяемое понятие теории вероятностей, как, например, понятия точки и прямой в евклидовой геометрии. Поясним его смысл.
Пример 3.1
Рассмотрим опыт (испытание), заключающийся в подбрасывании игральной кости (кубика с шестью гранями). Обозначим через выпадение очков на верхней грани. Тогда событие - «выпадение четного числа очков» можно представить как множество .
Пример 3.2
Пусть в том же испытании нас интересует событие «выпадение 5 очков». Соответствующее множество .
Итак, событие — это некоторое множество возможных исходов испытания. Математической моделью события в теории вероятностей является множество. Если это множество содержит один элемент, как в примере 3.2, то событие (исход) называется элементарным.
Множество всех элементарных исходов испытания называется пространством элементарных событий данного испытания. В примере 3.1 .
|
|
Очевидно, событие всегда является некоторым подмножеством пространства элементарных событий: (пример 3.1).
Если , то говорят, что элементарный исход благоприятствует событию А. Так в примере 3.1 событию «выпало четное число очков» благоприятствуют элементарные исходы , и .
Это означает, что событие совершается, если наступает хотя бы один из исходов или , или .
Итак, с каждым испытанием связано некоторое множество – пространство элементарных событий этого испытания.
Очевидно, выбор пространства элементарных событий в каждом случае должен сообразовываться со смыслом конкретного испытания. Так, при подбрасывании игральной кости напрашивается «естественный» выбор пространства элементарных событий: . Но, допустим, игра заключается в ставках на «чет» — «нечет». Тогда нет нужды различать исходы , , так же, как и исходы , , . В этом случае события и следует считать элементарными, и пространство элементарных событий имеет вид .
Множество , как и всякое множество, связанное с испытанием, является событием. Оно наступает при любом исходе испытания, так как при всех . Поэтому множество называют достоверным событием. Обычно достоверное событие обозначается U. Таким образом, . Пустое множество интерпретируется как невозможное событие. В реальной ситуации это событие, которое никогда не наступает в данном испытании. Невозможное событие обычно обозначается V, т. е. V = .
Операции над событиями – сумма, произведение и разность – определяются как соответствующие операции над множествами.
|
|
Пусть и являются подмножествами пространства ,
т. е. событиями, которые могут произойти в результате одного и того же испытания.
Суммой (или объединением) событий и будет событие + (или ), элементарные исходы которого благоприятствуют хотя бы одному из событий или В. В реальном испытании это означает, что происходит, по крайней мере, одно из событий А или В (возможно, имеют место оба события).
Произведением (или пересечением) событий и называется событие АВ (или ), элементарные исходы которого благоприятствуют и и В. В реальном испытании событие АВ заключается в том, что имеют место и событие и событие В.
Разностью событий и называется событие , элементы которого благоприятствуют событию , но не благоприятствуют . В реальном испытании событие заключается в том, что произошло, а не произошло. На рис. 3.1 приведены соответствующие диаграммы Эйлера-Венна.
а б в
Рис 3.1
Рис. 3.2
Событие называется противоположным событию (рис.3.2). Появление события в испытании исключает возможность осуществления события А. Очевидно, , .
События и называются несовместными, если (или то же самое можно записать ).
Очевидно, противоположные события несовместны: , (или тоже самое можно записать так ).
С помощью введенных операции из некоторых заданных событий можно конструировать сложные события.