Операции над нечеткими множествами

Нечеткое множество является обобщением классического множества. Обобщать операции можно по-разному => определение операций будет неоднозначным, т.е. одну и ту же операцию можно определить по-разному.

Говорить об операциях над нечет. множествами возможно только, если все они проводятся на одном и том же универсальном множестве.

Т.к. неч. множество полностью определяется своей функцией принадлежности, множество и функция явл. по сути синонимами. Но одно и то же свойство может быть задано с помощью различных функций принадлежности.

Рассмотрим отношение равенства: два нечетких множества называются равными, если для их функции принадлежности равны: , A = B.

Нечеткое множество А называется множеством нечеткого множества, если для . .

Если для двух множеств неверно ни , ни , то говорят, что множества A и B несравнимы.

Пересечением двух нечетких множеств будем называть некоторое нечеткое множество C (), функция принадлежности которого определяется так: .

Объединением двух нечетких множеств A и B, заданных на одном и том же универсальном множестве, называется множество C () определяется как: .

Симметрической разностью нечетких множеств A и B, заданных на одном и том же универсальном множестве, называется множество C, функция принадлежности которого определяется так: .

Дополнением нечеткого множества A называется множество .

В системе MatLab при моделировании именно эти определения стоят по умолчанию.

Для этих операций выполняются свойства:

1.

2.

3.

4. - идемпотентность;

5.

6.

7.

8.

Принципиальной особенностью нечетких множеств является то, что для них не выполняются два свойства, характерные для классических множеств:

1.

2.

Введенные определения наиболее приближают алгебру нечетких множеств к булевым. В других определениях некоторые из 8 свойств не выполняются.

В ряде конкретных случаев целесообразно использовать не основные операции с нечеткими множествами, а альтернативные. Это может быть вызвано желанием, например, повысить адекватность модели.