Распространенные ошибки

Типы ошибок:

1. Ошибка в выборе модели.

- Плохого анализа ситуации.

- Игнорирования важных фактов.

- Использование схемы из какой-то другой области.

- Использование модели в неверных условиях (классическая и релятивистская механика).

- Неоправданные упрощения модели.

- Неоправданные упрощения моделируемого объекта.

2. Влияние интерполяции и экстраполяции.

- Плохая теоретическая обоснованность вида функции.

- Плохой учет острых экстремум, разрывов и т.п., которые могут оказаться определяющими.

- Необоснованное распространение формул с исходного на существенно более широкие интервалы.

3. Ошибки в выборе метода исследования.

- Использование неверного вида исследования.

- Недостаточные требования к исходным данным.

- Использование неверного математического алгоритма (например, алгоритм неустойчив).

17. Математические модели в физике.

Изначально мат. модели появились в физике (средние века). Мат. модели в физике на много проще, чем мат. модели, возникающие в биологических и социальных науках. Моделирование явлений, включающих в себя человека в качестве элемента явления, неизмеримо сложнее, чем моделирование объектов и явлений неживой природы.

Предположим, что ракета запускается под углом к поверхности земли. Требуется построить траектории. Нужно учесть ряд факторов: характеристики самой ракеты, сопротивление воздуха и т.п.

Сперва сделаем ряд упрощательных предположений. Во-первых, ракета на высоту 2100 км. Это позволит пренебречь кривизной Земли. Во-вторых, траектория ракеты лежит в одной плоскости.

Строим двумерную систему координат с центром в точке старта. Пусть x(t) и y(t) - координаты ракеты в момент времени t. Пусть

Тогда

Угол наклона ракеты к горизонту .

Мат. модель траектории следует и законов Ньютона: , m - масса ракеты, причем , - результирующая действующих сил (сила тяги двигателя , сила сопротивления воздуха , где c - коэффициент сопротивления, ρ - плотность воздуха, s - поперечное сечение ракеты, V - скорость; сила тяжести )

Чтобы записать нужное уравнение, примем во внимание, что сила тяжести и сила сопротивления действуют вдоль оси ракеты. Получаем:

Отсюда выражаем 𝑥′′ и 𝑦′′:

Получаем систему дифференциальных уравнений второго порядка.

18. Математические модели в биологии.

Первое применение математики в биологии — статистическая обработка биологических экспериментов. Математическое моделирование пришло в биологию позже, т.к. биологические объекты представляют собой гораздо более сложные объекты, чем изучаемые в физике. Любой живой объект подвержен воздействию различного рода факторов, которые сложно описать математически. Однако в настоящее время мат. моделирование в биологии интенсивно развивается, и даже строятся модели биохимических процессов, происходящие в клетках.

Моделирование осуществляется с помощью специальных дифференциальных уравнений. При этом эти модели носят приближенный характер; с их помощью можно описывать явление или процесс только на качественном уровне.

Модель «хищник-жертва». Предполагаем, что при каждой встрече с хищником, жертва погибает. Требуется исследовать во времени популяции хищников и жертв.

Пусть x(t) - количество жертв в момент времени t, а y(t) - хищников. Предположим, что норма рождаемости и смертности жертв x_b и x_d - константы, не зависящие от времени. Это упрощение не совсем соответствует действительности. Считаем, что . Если хищников не будет, то - скорость роста популяции. Т.к. мы предположили, что хищник убивает жертву всегда, то число таких случаев ~ произведению количества хищников и жертв.

Найдем уравнение для хищников. Предположим, что в отсутствии жертв их число убывает. В результате встреч хищников с жертвами число хищников растет.

Мы получили систему дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями. Дальше ее можно решать математическими методами.

Меняя параметры, мы можем исследовать поведение системы и изучить явление при различных условиях.

Чтобы получить однозначное решение, нужно задать начальные условия x(0) и y(0).

19. Математические модели в экономике.

Построение мат. моделей в экономике может давать прогнозы с некоторой степенью достоверности.

Экономику можно рассматривать как нелинейную динамическую систему.

Система - совокупность составляющих ее компонентов и взаимосвязей между ними. Социально-экономические системы - это целереализующие системы. Подсистема - часть системы, реализующая цели, согласованные с целями системы или являющиеся частью этих целей. Любая система действует в какой-либо среде.

Можно рассматривать и экономическую систему, которая рассматривается как совокупность хозяйственных единиц, объединенных различными связями. Каждая хозяйственная единица (ферма, …) может иметь свою структуру. Экономическая система состоит из 2 главных подсистем: производственной и финансово-кредитной.

Пример. Модель Солоу. В ней экономика рассматривается как замкнутая структура. Переменные:

y - ВВП;

I - валовые инвестиции;

c - фонд потребления;

k - основные производственные фонды;

L - число занятых.

Первые три переменные показывают. k, L - можно измерить в любой момент времени.

1 ур-ние - производственная функция (влияние ВВП).

2 ур-ние - распределение.

3 ур-ние - состояние производственных фондов (их выбывание со временем).

4 ур-ние - динамика прироста занятых.

Получили систему с обратной связью. При этом управляющим элементом является распределительный элемент (ур-ние 2). Входом в систему служит количество рабочих (ур-ние 4). Управляемый объект описывается ур-ниями 1 и 3.

Если время Δt - дискретно.

Переходим к пределу Δt→0 => Получаем дифференциальные уравнения.

Мы получили 2 модели (с дискретным и непрерывным временем).