Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

(10)

Геометрический смысл величины b будет раскрыт несколько позднее; сейчас мы только заметим, что а > с, следовательно, а²—с² > 0 и величина b - вещественна. Из равенства (10) имеем:

b = а²—с², (11)

вследствие чего уравнению (9) можно придать вид

b²х² + а²у² = а²b²

или

х² / а² + у² / b² = 1 (12 )

Докажем, что уравнение (12) есть уравнение данного эл­липса. Этот факт не является самоочевидным, поскольку урав­нение (12) получено из уравнения (5) двукратным освобожде­нием от радикалов; очевидно лишь, что уравнение (12) есть следствие уравнения (5). Мы должны доказать, что уравнение (5) в свою очередь есть следствие уравнения (12), т. е. что эти уравнения эквивалентны.

Предположим, что х, у— какие-нибудь два числа, для которых соблюдено равенство (12). Производя предыдущие выкладки в обратном порядке, мы получим из равенства (12) сначала равенство (9), затем равенство (8), которое сейчас запишем в виде

а²[(х² — с)² +у²] = (а²—сх)².