Теория по алгебре

1. Группы. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Среди алгебраических систем важнейшую роль играют группы.

Определение: Не пустое множество G с какой-то ассоциативной операцией *, которое является и обратимой называется группой.

Пример: <A, *>

1) a*(b*c)=(c*a)*b

2) a*x=b, x*a=b

Однако, проверить обратимость операции бывает достаточно сложно, поэтому проверка группы проводится по следующим правилам: < A, +>, a,b,c, A

1) a*b

2) (квантор существует и он единственный)

e A, a*e=e*a=a, e-нейтральный элемент.

Когда e=0, это аддитивная запись, т. к. сложение

Когда e=1 – мультипликативная запись, так как умножение.

3) Существует симметричный элемент или (-a)

мультипликативная

аддитивная запись

4) (a*b)*c=a*(b*c) свойство ассоциативности

Пример: (множество натуральных чисел с операцией +)-<N,+>

Определение: Группа называется коммутативной, если выполняется свойство коммутативности: a*b=b*a

Пусть множество G является группой относительно некоторой операции. Подмножество H в котором выполняются свойства 1-4 относительно той же операции называется подгруппой.

То есть, множество H также является группой относительно той же операции звездочка (*).

Из определения следует, что любая группа является своей подгруппой и что любое множество состоящее только из единицы группы так же будет ее подгруппой.

Множество положительных рациональных чисел является группой относительно операции умножения и одновременно является подгруппой мультипликативной группы положительных действительных чисел.

Для того, чтобы установить, что непустое подмножеств H группы G есть подгруппа этой группы достаточно проверить два условия:

1) a,b H, то a*b H (где звездочка (*) – любая операция), например: ½+½=1/1б т.е Q=1/1

2) a H, то , пример: 2/3*3/2=1, где а=2/3 и

Эти условия можно заменить одним условием: Для любых элементов принадлежащих H: a,b H,

Отображением группы G на множество G’(G штрих) с одной операцией называется гомоморфизмом если это отображение сохраняет операцию, то есть для любых элементов группы a,b G из условия:

Пример: <N,+> и <R,*>

Пусть даны два множества A и A’ (A штрих)

<A,0>, <A’,*>

<A,0> <A’,*>

Теорема: Гомоморфный образ группы так же является группой относительно своей операции.

При гомоморфизме единицы группы G отображаются в единицы группы G’, а взаимнообратные элементы из G отображаются во взаимообратные элементы G’.

Если гомоморфное отображение взаимооднозначно, то оно называется изоморфным или изоморфизмом.

Изоморфные группы можно считать совпадающими.

2. Кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольца. Гомоморфизм и изоморфизм колец.

Множество действительных чисел R является группой относительно операции сложения, причем эта группа коммутативна, то есть выполняются следующие свойства:

1. (a+b)+c=b+(c+a) свойство ассоциативности
2. a+b=b+a свойство коммутативности
3. a+x=b это уравнение имеет единственное решение.

Кроме того, операция сложения связана с операцией умножения двумя законами дистрибутивности:

1. a(b+c)=ab+ac

(a+c)b=ba+bc

Операция умножения обладает свойством пять:

1. a(bc)=(ab)c

Множество K с операцией сложения, умножения называется кольцом, если для любых элементов a,b,c K выполняются свойства 1-5.

Пример: Множество квадратных матриц порядка n является кольцом относительно операции умножения и сложения матриц. Множество целых чисел относительно операции сложения и умножения чисел.

Свойства колец:

Будем использовать аддитивную терминологию (по сложению). Нейтральный элемент равен нулю, а противоположный (-a)

1. –(-a)=a
2. a-b=a+(-b)
3. –a-b=(-a)+(-b)
4. a-a=0
5. a(b-c)=ab-ac или (b-c)a=ba-ca
6. a*0=0 или 0*a=0
7. (-a)b=-ab, a(-b)=-ab, -a*(-b)=ab

Отличные от нуля элементы a и b? Произведение которых равно 0 называют делителями нуля.

Пример: -эти матрицы называют делителями нуля.

Подмножество M кольца R называется подкольцом, если оно само является кольцом при тех же операциях сложения т умножения, которые определены в кольце R.

Пример: Кольцо четных целых чисел является подкольцом кольца целых чисел, а кольцо целых чисел является подкольцом кольца рациональных чисел.

Теорема: Для того, чтобы не пустое подмножество M кольца К,было его подкольцом необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение двух любых из M также принадлежало множеству M (чтобы не выйти за пределы этого множества).

Пусть R1 и R2 произвольные кольца, если R2 является образом кольца R1 то:

1. Образ нуля R1 кольца при отображении переходит в ноль кольца R2.
2. Единица из R1 переходит в единицу из R2.
3. Для всякого элемента a кольца R1 образ элемента противоположного элементу a равен элементу противоположному образу элементу x.

Два кольца R1 и R2 называются изоморфными, если R1-гомоморфна R2, a R2-гомоморфна R1.

- гомоморфизм - изоморфизм

3. Алгебры, алгебраические системы.

Свойства операций состоит в следующем: двум элементам из некоторого множества соответствует некоторый третий элемент.

Картеж -упорядоченный набор из n-элементов.

Операцией над множеством a называется отображение, соответствующее каждому картежу <a1>,<a2>… из A определенный элемент этого же множества.

Операции будем обозначать *, 0 и т.п.

Определение: Всякое множество с заданными в нем операциями будем называть алгебраическими множествами.

Пример: <N,+> и <R,*>

Пусть даны два множества A и A’ (A штрих)

<A,0>, <A’,*>

<A,0> <A’,*>

Отображение системы A на A’ (штрих) сохраняющее операции называется гомоморфизмом, при этом система A’ является гомоморфным образом системы A.

Пример: Множество целых чисел Z с операцией сложения и множество действительных чисел на отрезке [-1;1] с операцией умножения. Эти две системы являются гомоморфными.

Гомоморфное отображение A на систему A’, при котором множество A первой системы отображается на множество A’ второй системы взаимооднозначно называется изоморфизмом.

Пример: Множество действительных чисел с операцией сложения и множество диагональных матриц второго порядка с операцией сложения:

Пример: A<R,+>; A’< >

a,b

Изоморфные алгебраические системы отличаются лишь такими признаками, которые связаны с конкретной природой элементов и операций. Во всем остальном изоморфные системы не различимы - любое утверждение, которое формируется только с помощью равенств связывающих элементы и операции истинно или ложно одновременно для каждой изоморфной системы.

В системе с одной операцией звездочка(*) имеется такой нейтральный элемент, что композиция произвольного элемента a и нейтрального элемента равна элементу a.

Пример: 1. <R,+>,2. < >, 3. <Q,*>, 4.множество поворотов на угол .

1. a , a+0=a;

2. ; 3. ; 4. - множество поворотов на 120 градусов, 360 и т.д.

4. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства поля.

Дано множество для произвольных элементов которого выполняются свойства:

1. a+(b+c)=(a+b)+с ассоциативность
2. a+b=b+a коммутативность
3. a+x=b единственное решение
4. a(b+c)=ab+ac или (b+c)a=ba+ca дистрибутивность
5. a(bc)=(ab)c
6. ab=ba
7. ax=b единственное решение

Множество P с операциями сложения и умножения называется полем, если в P содержатся элементы, отличные от нуля для которых выполняются свойства 1-7.

Поле является кольцом, для которого выполняются дополнительные требования 6-7, поэтому все свойства колец будут справедливы и для полей.

Пример: Множество рациональных чисел с обычными операциями сложения и умножения являются полем, а множество целых чисел относительно обычных операций сложения и умножения не являются, где не выполняется 7 свойство:

2х=7

Х=7/2-не целое число.

Свойства полей:

1. –(-a)=a
2. a-b=a+(-b)
3. –a-b=(-a)+(-b)
4. a-a=0
5. a(b-c)=ab-ac или (b-c)a=ba-ca
6. a*0=0 или 0*a=0
7. (-a)b=-ab, a(-b)=-ab, -a*(-b)=ab

Специфические свойства полей (нет в кольцах):

1. Поле не содержит делителя нуля. Если
2. Подмножество не нулевых элементов поля является коммутативной группой относительно операции умножения. Из этого свойства вытекают следствия:

- всякое поле содержит нейтральный элемент относительно операции умножения.

- вместе с каждым не нулевым элементом поле содержит единственный обратный ему элемент.

3. В любом поле выполняются следующие равенства:

а) (-a)=(-1)*a

б) b/a=b*

в) 1/(ab)=

г)

д)

5. Числовое поле. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Дано множество для произвольных элементов которого выполняются свойства:

1. a+(b+c)=(a+b)+с ассоциативность
2. a+b=b+a коммутативность
3. a+x=b единственное решение
4. a(b+c)=ab+ac или (b+c)a=ba+ca дистрибутивность
5. a(bc)=(ab)c
6. ab=ba
7. ax=b единственное решение

Множество P с операциями сложения и умножения называется полем, если в P содержатся элементы, отличные от нуля для которых выполняются свойства 1-7.

Поле является кольцом, для которого выполняются дополнительные требования 6-7, поэтому все свойства колец будут справедливы и для полей.

Замечание:

В поле любой ненулевой элемент обратим, поэтому можно определить операцию деления и частного двух элементов.

, где Р – поле.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

Числовые поля:

, < Q, +, ×> – поле;

, R=< R, +, ×> - поле;

, < Q(i), +, × > - поле гауссовых чисел;

, < Q(), +, ×> - квадратичное поле.

Существуют различные способы построения комплексных чисел. Рассмотрим следующий подход, где комплексное число интегрируется как пара действительных чисел.

1* z₁ + z₂ = (x₁y₁)+(x₂y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

2* z₁×z₂ = (x₁y₁)×(x₂y₂) = (x₁x₂ – y₂y_1, x₁y₂ + x₂y₁)

Теорема: Алгебра С = < C _z{z=(x, y), x,y R}, +, × > - поле.

(x, 0) = x (обозначим действительную часть)

(0, 1) = i (обозначим мнимую единицу)

i² = (0, 1)×(0, 1) = (-1, 0) = -1 i²= -1/

(0, y) = (y, 0)×(0,1) = y×i (обозначим);

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + i×y

z = x + i×y

алгебраическая форма

комплексного числа.

Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними.

- модуль комплексного числа

j - аргумент комплексного числа;

Z(x,y)

j - arg z.

j определен с точностью до 2πк, и аргумент

0 не определен.

Геометрическая интерпретация сложения комплексных чисел

Геометрическая интерпретация

Противоположного комплексного

числа

Геометрическая интерпретация сопряженного комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа.

z= x+ iy = ()

z= r×() тригонометрическая запись комплексного числа

= (обозначим)

z = r× - показательная форма записи комплексного числа.

Свойства операций над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

,