Квадратные матрицы

А = , В = называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2. Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:

3. Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:

4. Нулевой матрицей называется матрица порядка mxn, все элементы которой равны 0.

5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

λА = , λ R.

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Сумма (разность) матриц.

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка mxn.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m,

j = 1, 2, 3, …, n.). Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m. Произведением двух согласованных матриц и

А= , В= называется матрица С порядка mxk:

= ∙ , элементы которой вычисляются по формуле:

( 1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, k), то есть элемент i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

Матрица называется обратной к матрице ,если выполняются следующие равенства.

. Если определитель матрицы отличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной. Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной