На рис. 2.5 представлены непрерывная функция времени f (t) и соответствующая ей решетчатая функция , значения которой определены для tk = kT. Таким образом, вместо непрерывного аргумента t мы имеем целочисленный аргумент k (номер интервала времени).
а) б)
Рис. 2.5. Непрерывная (а) и решетчатая (б) функции
Решетчатой функцией называется действительная функция целочисленного аргумента.
Для решетчатых функций вводятся разности различных порядков, которые аналогичны производным для непрерывных функций.
Разность первого порядка
.
Разность второго порядка
.
Разность i -гo порядка выражается рекуррентным [1] соотношением
или, с учетом выражений разностей,
,
где - биномиальные коэффициенты.
Уравнение, содержащее решетчатую функцию и ее разности различных порядков, называется уравнением в конечных разностях или разностным уравнением (аналог дифференциального уравнения). Линейное разностное уравнение имеет вид
.
Заменяя разности их выражениями, получим разностное уравнение в рекуррентной форме
|
|
.
Наиболее часто применяются системы разностных уравнений первого порядка в рекуррентной форме. Они могут быть получены в результате применения к системам дифференциальных уравнений первого порядка численных методов.
Разностные уравнения по существу являются рекуррентными соотношениями, позволяющими при i = 0, 1, 2,... последовательно шаг за шагом (т.е. рекуррентно) вычислять значения выходной величины при заданных ее начальных значениях и любых заданных аналитически, графически или таблично значениях входной величины .
Решение разностного уравнения дает значения выходной величины лишь в дискретные моменты времени t = kT. Во многих случаях этого вполне достаточно для суждения о поведении системы. Если же возникает необходимость в получении информации об изменении выходной величины в любой момент времени, то используется смещенная последовательность
или в сокращенной записи , где ε – параметр, которому можно придавать любые значения в пределах 0 ≤ ε ≤ 1. Если ε изменять непрерывно в указанных пределах, то совпадает с y (t).