Основные свойства неопределённого интеграла

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подын­тегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

,

Доказательство. Пусть . Тогда

,

.

⊠

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ­ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Доказательство. Действительно, так как

.

Например, .

⊠

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

Доказательство. Действительно, пусть — первообразная функции : | = . Тогда — первообразная функции : . Отсюда следует, что

.

где .

⊠

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Доказательство. Доказательство проведем для двух функций. Пусть и — первообразные функций и : , . Тогда функции являются первообразными функ­ций . Следовательно,

⊠

5. Если — первообразная функции , то

.

Доказательство. Действительно,

.

⊠

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула ин­тегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где — дифференцируемая функция.

В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к таб­личному.