2015-06-04
720
Если функция 
дифференцируема в точке 
, то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
.
Сумма первых двух слагаемых есть главная линейная (относительно 
и 
) часть приращения функции.
Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается
.
Приращения независимых переменных и называют дифференциалами независимых переменных 
и 
и обозначают соответственно 
и 
. Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде:
или в более краткой форме: 
.
Пример. Найти полный дифференциал функции 
.
Решение. 
для 
.
Пример. Найти полный дифференциал функции 
.
Решение. Найдем частные производные функции:
,
.
Следовательно,
для .
Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, полным дифференциалом функции трех переменных 
в точке 
называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции, т. е.
|
|
|
.
Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что для функции можно полагать 
, а для функции , зависящей от трех переменных 
, для 
, 
.
Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:
,
.
И в общем случае,
.
Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.
Например, если задана дифференцируемая функция 
переменных 
. Тогда абсолютная погрешность 
вычислений по этой формуле оценивается величиной
,
а относительная погрешность ― величиной 
.
