2015-06-05
671
Предполагается, что значение 
и значение функции в начале и в конце интервала интегрирования нефиксированные. Может быть также частный случай, когда подвижна одна граница (верхняя или нижняя), когда нижняя или верхняя границы задаются в виде кривой или поверхности, т.е. задается функционально. Рассмотрим случай, когда варьируется верхняя граница, тогда
;
;
;
Если функция 
является экстремалью, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю в соответствии с уравнением Эйлера: 
.
Т.к. значение функции не фиксировано в точке 
, то 
, тогда 
.
Поскольку варьируется и и значение функции в точке , то полная вариация 
может быть представлена (см рис. 1): 
;
(*)
Для обеспечения экстремума вариация функционала должна быть равна нулю: 
, тогда, при независимых 
и 
вариация будет равна нулю, если 
и
Эти уравнения используются для нахождения 
и второй константы интегрирования, они называются условиями трансверсальности.
Если вариации и 
связаны зависимостью 
, т.е. верхний конец интервала перемещается по некоторой кривой, тогда 
, и условия трансверсальности записываются следующим образом:
1) 
(получено путем подстановки 
в формулу (*), приравнивания вариации к нулю и деления на 
).
Аналогично записывается уравнение трансверсальности для нижней границы, если
2) 
.
