Абсолютно упругий удар

Рис. 30. Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют решать задачи в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Удар — это столкновение двух тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Тела во время удара претерпевают деформацию и кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами.

В механике используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращаются в кинетическую энергию. Для абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров. Рассмотрим это на примере удара двух шаров массами m₁ и m₂, двигающихся со скоростями v₁ и v₂ до удара и со скоростями v₁¹ и v₂¹ после удара.

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁¹ + m₂v₂¹, (5.22)

и [m₁v₁²]/2 + [m₂v₂²]/2 = [m₁(v₁¹)²]/2 + [m₂(v₂¹)²]/2. (5.23).

Проведя соответствующие преобразования, получим

m₁(v₁ - v₁¹) = m₂(v₂¹ - v₂) и m₁[v₁² - (v₁¹)²] = m₂[(v₂¹)² - v₂²] (5.24)

откуда v₁ + v₁¹ = v₂ + v₂¹. (5.25).

Решая эти уравнения, находим v₁¹ = [(m₁ - m₂)v₁ + 2m₂v₂]/(m₁ + m₂); (5.26).

v₂¹ = [(m₂ - m₁)v₂ + 2m₁v₁]/(m₁ + m₂); (5.27).

ПРИМЕРЫ:

При v₂ = 0; v₁¹ = [(m₁ - m₂)/(m₁ + m₂)].v₁; v₂¹ = [2m₁/(m₁ + m₂)].v₂

а) m₁ = m₂. Если второй шар был до удара неподвижен, v₂ = 0,

то после удара остановится первый шар (v₁¹ = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v₂¹ = v₁);

б) m₁ > m₂. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью

(v₁¹ < v₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v₂¹ > v₁¹)

в) m₁ < m₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в

ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (v¹ < v₁).

г) m₂ >> m₁. ( Cтолкновение шара со стеной.) v₁¹ = - v₁. v₂¹» 0.

При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой. При таком ударе центры шаров не только сближаются из-за деформации, но и скользят по поверхности друг друга. Возникшие при этом силы трения приводят к изменению скорости шаров и возникновению вращательного движения. Если силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии так же, как и при центральном ударе. После нецентрального соударения шары разлетаются под углом друг к другу.

Рис. 31. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние.

Для определения скоростей u₁ и u₂ после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d, т.е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости v₁ налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей u₁ и u₂ шаров после упругого соударения направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m₁ = m₂ = m эти законы принимают вид:.

v₁ = u₁ + u₂, v₂² = u₁² + u₂². (5.28).

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей. v₁, u₁, u₂, образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т.е. он прямоугольный. Угол между катетами u₁ и u₂ равен 90°.