Потенциальная энергия

Потенциальная энергия – это энергии взаимодействия тел. Потенциальная энергия вводится только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями. Взаимодействие тел осуществляется через силовые поля. Тело в потенциальном поле имеет энергию W_n.

Рис. 42. Работа консервативной силы A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой траектории A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0.

Работа при малом изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии (со знаком минус), поскольку она совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA = - dW_n. (7.12).

dA это скалярное произведение силы F на перемещение dr:

Fdr=- dW_n. (7.13).

Отсюда сила F по модулю и направлению

F=-dW_n/dr, (7.14).

а потенциальная энергия

W_n=- òFdr+C, (7.15).

где С - постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной. Для консервативных сил

F_x = - dW_n/dx,

F_y = - dW_n/dy,

F_z = - dW_n/dz,

F = -gradW_n. (7.16).

Конкретный вид функции W_n зависит от характера поля. Так потенциальная энергия тела массой m на высоте h над Землей

W_n = mgh, (7.17).

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, на котором W_n = 0.

Для упруго деформированного тела сила упругости пропорциональна величине деформации

F_упр = - kx, (7.18).

где k - коэффициент упругости. По третьему закону Ньютона,

F_деф= - F_упр = kx. (7.19).

Работа dA, совершаемая силой F_деф, при малой деформации dx,

dA = F_дефdx = kxdx, (7.20).

а полная работа

A = òkxdx = kòxdx = (kx²)/2 (7.21).

идет на увеличение потенциальной энергии деформированного тела,

W_n = (kx²)/2. (7.22).

На тело вблизи поверхности Земли, действует сила тяжести

F = mg. (7.23).

Работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения Δs на ось OY, направленную вертикально вверх:

A = F_TΔscosά = mgΔs_v. (7.24).

Где

F_T = F _Tv = - mg. (7.25).

– проекция силы тяжести, Δs_v. – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δs_v.> 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h₁, в точку, расположенную на высоте h₂ от начала координатной оси OY, то сила тяжести совершила работу

A = - mg(h₂ – h₁) = - - (mgh₂ – mgh₁). (7.26).

Эта работа равна изменению mgh, взятому с противоположным знаком. Эту величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести

W_p = mgh. (7.27).

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень. Потенциальная энергия W_p зависит от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение

ΔW_p = (W_p2 – W_p1). (7.28).

Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня. Понятие потенциальной энергии справедливо и для упругой силы. Работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком.

A_упр. = - A = -(kx²/2). (7.29).

Где k – жесткость пружины. Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют величину

W_p = (kx²/2). (7.30).