Геостатистические способы подсчета запасов (кригинг)

Геостатистические методы используются для минимизации ошибок распределения на месторождениях с сильной изменчивостью признаков. Они дают более близкую оценку запасов, которые будут извлекаться по сравнению с традиционными методами. С помощью этих методов оценивают не запасы в недрах, а извлекаемые запасы, т.е. те которые будут добыты. Снижение ошибки достигается за счет использования всех сведений об изменчивости параметров.

Геостатистикой (статистикой пространственных или геометрических переменных) называется отрасль прикладной математики, разработанная прежде всего в целях решения практических задач оценки месторождений и оптимизации процессов добычи полезных ископаемых.

Сам термин “геостатистика” был введен Ж.Матероном (Франция), выпустившим в 60-х г. капитальный труд “Трактат о прикладной геостатистике”, переведенный на русский язык еще в 1966 г.

Геостатистика как наука, родилась прежде всего потому, что горная практика постоянно сталкивалась с примерами неподтверждения прогнозируемых характеристик и горный бизнес настоятельно требовал снижения соответствующих рисков, а также методов их оценки.

Криге вывел эмпирические соотношения между значениями содержаний по периферическому опробованию и блокам в целом (по эксплуатации), которые предложил использовать как поправочные коэффициенты к данным опробывания, повышающие для бедных и понижающие для богатых блоков. Общее уравнение регрессии по этим данным имело вид:

ln у = a ln x + b

где

ln y - математическое ожидание логарифма содержания в блоке,

x - среднее содержание по периферическим пробам,

а и b -коэффициенты.

Как известно, коэффициенты линейной регрессии а и b могут быть выражены через значения ковариации величин y/x и их дисперсий s²_х и s²_у.

Анализируя соотношения дисперсий содержания в блоках разного объема другой южноафриканский исследователь де-Вейс пришел к выводу, что дисперсия в блоке (пробе) любого заданного объема может быть выражена как

s²_v = a ´ ln(v/u)

где

v - объем всего месторождения,

u - объем блока (пробы),

a -некоторая постоянная.

Как выяснилось впоследствии, это выражение справедливо только в случае геометрического подобия объемов u и v, однако исследователи Витватерсранда имели дело как раз с таким случаем.

Используя выводы де-Вейса, Криге сформулировал условие оптимизации оценки содержания в блоке или зоне влияния некоторой пробы как:

Z = a ´ Z₁(x) + (1 - a) ´ m

где

Z₁(x) - среднее значение параметров по элементарным пробам,

Z - оценка значения параметра по блоку,

m - среднее значение параметра по месторождению,

a - коэффициент.

Процедура такого решения была названа в честь Криге “кригингом”.

В качестве модели пространственной изменчивости признака, Матероном была предложена структурная функция или вариограмма, связывающая величину дисперсии с взаимным расположением точек замера значений признака. Общее выражение такой функции:

g (h) = 1/2 N (h) å [ Z(x_i ) - Z (x_i+h) ]²

где

N (h) - число пар замеров (проб), расположенных друг от друга на расстоянии h,

Z (x_i) - значение признака в точке x_i ,

Z (x_i+h ) - значение признака в точке x_i+h.

Вариограмма обычно характеризуется постепенным возрастанием в области малых расстояний между точками наблюдения и приближением к некоторой постоянной при увеличении этого расстояния больше некоторого предела. (См. рис 5.9)

Для построения вариограмм обычно используют данные секционного опробования по разведочным пересечениям (скважинам, выработкам)

В условиях изотропной схемы изменчивости достаточно располагать вариограммой по одному, произвольному направлению. При наличии анизотропии необходимо увеличение числа направлений и соответствующее преобразование вариограмм_..

Если тренд не полностью снят, то тоже учитываем (квазиметрические измерения) Но относимся аккуратно. До конца не знаем, как поведёт на границах и где еще тренд не снят.

Проблемы:

1) Неопределённость выбора аппроксимирующей функции.

2) выбор радиуса учета проб (должен быть большим, чтобы туда попадало несколько пересечений, но тогда идет большое сглаживание и, соответственно, меняются запасы. А у нас резко неравномерная сеть!

3) удобно: при решении оптимальных бортов карьеров при открытой добыче (с учетом экономической выгоды), также удобно для составления календарного плана отработки для оценки дисконтированной прибыли.

4) при подсчете запасов пользуемся кондициями, которые вводятся на линейные пробы, а в геостатистике размеры блоков разные, т. к. дисперсии по линейным и объёмным разные.