ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Лекция 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение первообразной функции.
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Основные свойства неопределенного интеграла
4. Таблица основных неопределенных интегралов.
5. Основные методы интегрирования.
1. Определение первообразной функции. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции . В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции требуется найти такую функцию , что .
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции по известной производной этой функции.
Определение 1. Функция , называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство .
Замечание 1. Если является первообразной функции на интервале , то непрерывна на . (Почему?)
Замечание 2. В определении первообразной и могут быть как конечными, так и бесконечными.
|
|
Пример. Первообразной функции на множестве является функция , так как .
Очевидно, что первообразными будут также и любые функции , где – постоянная, поскольку .
В дифференциальном исчислении было доказано, что если дифференцируема, то ее производная единственна. Приведенный выше пример показывает, что первообразная таким свойством не обладает.
Теорема 1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для функции совпадает с множеством функций вида , где – постоянная.
► Пусть – первообразная функции на . Тогда для функции имеем , т.е. является первообразной функции .
Пусть теперь – некоторая другая, отличная от , первообразная функции , т.е. . Тогда для функции имеем
,
т.е. .
Возьмем две произвольные точки . На отрезке для функции выполнены все условия теоремы Лагранжа и поэтому справедлива формула
, где .
А поскольку , то отсюда следует, что , а это означает, что . Таким образом, , или .◄
Вопрос: всякая ли функция имеет первообразную?
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную .