Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение 2. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1) ,	2) ,
3) ,	4) .

Здесь , , , , , – действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, т.е. .

Простейшие дроби первого типа интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

.

Дроби второго типа интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

.

Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

.

При интегрировании простейшей рациональной дроби четвертого типа сделаем замену переменной, положив . Откуда и:

,

где .

Тогда

.

Вычислим интеграл :

.

Для вычисления интеграла , представим его в виде

Замечая, что , получаем

.

Вычисление интеграла осуществляется с помощью метода интегрирования по частям:

Подставляя найденный интеграл, имеем

.

Данная формула является рекуррентной. Зная табличный интеграл

,

находятся интегралы , .

В частности при имеем

.