Лекция 3.
1. Интегралы вида (, ,… , , ,… ).
2.Интегралы вида (, ,… , , ,… ).
3. Интегралы вида , , .
4. Интеграл от дифференциального бинома (, , , , ).
1. Интегралы вида (, ,… , , ,… ). Через обозначается рациональная функция относительно т.е. выражение, которое получено из любых величин , а также действительных чисел с помощью четырех арифметических действий.
В данных интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от . Они вычисляются подстановкой , где – общий знаменатель дробей , , …. При такой замене переменной все отношения , , … являются целыми числами, т.е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной :
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем:
.
2. Интегралы вида ( , ,… , , ,… ). Интегралы данного типа подстановкой
,
где – общий знаменатель дробей , , …, сводятся к интегралам от рациональной функции переменной .
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
3. Интегралы вида , , .
Для вычисления интеграла выделяется полный квадрат под знаком радикала:
и применяется подстановка , .
В результате этот интеграл сводится к табличному:
.
Для вычисления интеграла в числителе интеграла выделяется производная выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
,
где – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла подстановкой:
, .
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
4. Интегралы вида . Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Иногда для вычисления данного интеграла используются тригонометрические подстановки.
Квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата и замены переменной можно представить в виде . Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
, ,
.
Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .
Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .
Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
5. Интегралы вида (, , , , ).
Интегралы вида (, , , , ), называются интегралами от дифференциального бинома . Эти интегралы выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) если , то используется подстановка , где – общий знаменатель дробей и ;
2) если , то используется подстановка , где – знаменатель дроби ;
3) если , то используется подстановка , где – знаменатель дроби .
Во всех остальных случаях, как было показано П.Л. Чебышевым, интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Имеем
.
Вопросы для самоконтроля
1. Как интегрируются интегралы вида , где , ,… , , ,… ?
2. Какая используется подстановка при интегрировании интегралов вида (, ,… , , ,… )?
3. Как интегрируются следующие интегралы , , ?
4. В каких случаях можно вычислить интеграл от дифференциального бинома (, , , , )?
5. Существуют ли интегралы, которые не выражаются через элементарные функции?