Рассмотрим квадратный трехчлен .
Квадратный трехчлен - это многочлен второй степени. Значения , при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение .
Мы уже знаем, что число действительных корней квадратного уравнения, а значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта . Пусть дан квадратный трехчлен с неотрицательным дискриминантом .
Теорема. Если и - корни квадратного трехчлена , то . (1)
Доказательство. Так как и - корни квадратного уравнения с дискриминантом , то по теореме Виета
, .
Поэтому
.
Полученное равенство (1) называется формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители. [5, c.129]
Пример 1. Упростить выражение .
Решение. Для квадратного трехчлена дискриминант . Найдем корни трехчлена, решив квадратное уравнение . Получим и . Поэтому по формуле (1) . Следовательно,
. [2, c.121]
Пример 2. Доказать, что выражение
|
|
при всех допустимых значениях есть величина постоянная.
Решение. 1) Разложим знаменатель второй дроби на линейные множители. Решив уравнение , найдем , . Получаем разложение квадратного трехчлена: .
2)
;
3) ;
4) - величина, постоянная при всех допустимых значениях (т.е. при любых значениях , для которых , , ). [5, c.130]