Запись решения системы линейных уравнений в матричном виде

Первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A^-1, получим A^-1AX= A^-1B, откуда EX=X=A^-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A^-1 и B.

Определение ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.

Практические способы вычисления ранга матриц.

Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод окаймления миноров.

Другой способ вычисления ранга матрицы основан на применении элементарных преобразований матрицы и использовании следующих утверждений.

1) Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

2) Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных (то есть приведение матрицы к треугольному или трапециевидному виду).

Теорема Кронекера-Капели.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.