2015-06-28
435
Пусть плоскость 
задана уравнением (4.6), а точка 
пространства своим радиус-вектором 
. Расстояние 
от точки до плоскости 
равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах 
(рис. 9).
Рис. 9. Расстояние от точки до плоскости
Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов, а площадь его основания равна модулю векторного произведения 
. Отсюда
(4.11)
Для каждого вектора 
, нормального к плоскости, можно так выбрать направляющие векторы 
и 
, чтобы 
. Поэтому при любом нормальном векторе имеем
(4.12)
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат
, 
, 
.
Тогда 
и (4.12) примет вид
(4.13)
где 
.
Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат плоскость , заданную уравнением
(4.14)
Пусть – радиус-вектор некоторой точки пространства, – радиус-вектор точки 
, являющейся проекцией точки на плоскость . Так как точка принадлежит плоскости , ее координаты удовлетворяют уравнению (4.14), т. е.
(4.15)
Вектор 
параллелен нормальному вектору . Тогда
|
|
|
Отсюда
Используя (4.15), получим
(4.16)
Уравнение
получаемое из (4.14) делением на 
, называют нормированным уравнением плоскости. Его удобно использовать для нахождения расстояния от точки 
до плоскости. Достаточно найти модуль левой части этого уравнения при подстановке 
.
