x – xo y – yo

X – xo y – yo

________ = _________ = t или

M n

{x – xo; y – yo} = t *{m; n}

’ ’

{x – xo; y – yo} = {tm; tn}

x – xo = tm

y – yo = tn

-параметрическое уравнение прямой

при t = 1, получаем

- каноническое уравнение прямой

(уравнение прямой, имеющей данную опорную точку и данный направляющий вектор). ’

В последнем уравнении умножим на n левую и правую части

y – yo = n/m (x – xo)

Обозначим n/m через k, тогда:

- уравнение прямой, имеющей данную главой коофициента

Общее уравнение прямой

Аk + Ву + D = 0

Аk + Ву = - D /: (-D)

-A/D*x + (- B/D)*y = 1

x y

­­------- + ------- = 1

−D/A −D/B

Обозначим: −D/A = а; −D/B = b

- уравнение прямой в отсекаемых отрезках

где: a – отрезок отсекаемой прямой на оси x

b -отрезок отсекаемой прямой на оси y

1. x + y = 1

2. –x + y = 1

3. x - y = 1

4. 2x + y = 4 \: 4

5. 3x – 2y + 4 = 0

1)

у

2)

у

− x+y=1

х

х

x+y=1

3)

у

4)

у

x-y=1

2x+y=4

х

х

5)

у

3x-2y+4=0

х

3х – 2у = - 4 \: (-4)

-3/4х + у/2 = 1

3x - 2y = - 4 /: (-4)

-3/4x + y/2 = 1

х у

----- + ------ = 1

-4/3 2

Задача:

Записать уравнение прямой, проходящей через точку М1 с координатами (х1; у1)

и точку М2 (х2; у2).

у						L
					М2
			M1
						х

Найдем координаты вектора М1; М2.

М1 М2 = {x2 – x1; y2 – y1} ’ ’

М1 М2 – является направляющей вектора L М1 М2 = qL

В качестве опорной точки возьмем точку М1 и воспользуемся каноническим уравнением

x – xo y – yo

________ = _________

M n

2. Взаимное расположение прямых на плоскости.

L1: А 1 х + В 1 у + D 1 = 0

L2: А 2 х + В 2 у + D 2 = 0

1) Прямые совпадают, если:

А1/А2 = В1/В2 = D1/D2

2) Прямые параллельны, если:

А1/А2 = В1/В2 ≠ D1/D2

3) Прямые пересекаются, если:

А1/А2 ≠ В1/В2 ≠ D1/D2

а) угол между прямыми находят как угол между их нормальными векторами

’ ’

n1= { А1; В1} n2= { А2; В2}

А1А2 + В1В2

cos φ = ----------------------

√‾А1² + В1² * √‾А2² + В2²

b) прямые перпендикулярны

’ ’ ’ ’

L1 ┴ L2 a n1 ┴ n2 a n1*n2 = 0

А1А2 + В1В2 = 0

Пример:

’

n1= {1;2 } x + 2y + 1 = 0

’

n2= {-2; k } - 2x + ky – 4 0

Найти k, если известно, что прямые перпендикулярны.

1* (-2) + 2 k = 0

2 k = 2

k = 1 a -2x + y – 4 = 0

Из примера следует, что для любого нормального вектора, мы можем назвать его.

’

n1= { А; В}

’

q = { -B; A} или { B; -A}

Задача:

Найти уравнение и длину медианы, проведенную из вершины С (-5; 1) треугольника АВС, если А (6; 4) В (0; -6).

С

А										В
					k

’

Найти уравнение прямой КС и длину вектора │КС│

Решение:

Найдем координаты точки k

k │ 6+0/2; 4-6/2│ ’

k │ 3; -1│- координаты вектора kс

’

kс = {-5 -3; 1- (-1) }

’ ’

kс = {-8; 2 } a │kc│ = √‾64 + 4 = √‾68

Уравнение прямой найдем через уравнение прямой, проходящей через две точки.

x – x1 y – y1

________ = _________

x2 – x1 y2 – y1

x + 5 y – 1

________ = _________

3 + 5 -1 – 1

x + 5 y – 1

________ = _________

8 -2