Задачи с применением осевой симметрии

142. Доказать, что прямая, проведенная через середину одного основания равнобедренной трапеции перпендикулярно ему, делит пополам и второе основание.

143. Доказать, что если отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, перпендикулярен этим основаниям, то трапеция равнобедренная.

144. Доказать, что если средние линии четырехугольника являются его осями симметрии, то такой четырехугольник является прямоугольником.

145. Доказать, что если одна диагональ и одна средняя линия четырехугольника являются его осями симметрии, то такой четырехугольник – квадрат.

146. Некоторая окружность пересекает одну из двух концентрических окружностей в точках и , а другую и . Доказать, что хорды и параллельны.

147. Окружность, концентрическая вписанной в треугольник окружности, пересекает стороны и треугольника в точках и , и соответственно. Доказать, что хорды и конгруэнтны.

148. Окружность с центром на биссектрисе угла встречает стороны этого угла в точках и , и . Доказать, что хорды и конгруэнтны.

149. На одной стороне угла с вершиной взяты точки и , а на другой стороне – точки и , так, что и . Доказать, что отрезки и конгруэнтны и пересекаются на биссектрисе данного угла.

150. Пусть и - середины оснований и равнобедренной трапеции . Доказать, что: 1) центры и окружностей, вписанных в треугольники и , равноудалены от точки ; 2) центры и окружностей, описанных около треугольников и , равноудалены от точки .

151. На равных сторонах и равнобедренного треугольника вне его построены квадраты с центрами и . Доказать, что: 1) пары прямых и , и пересекаются на биссектрисе угла треугольника; 2) прямая перпендикулярна биссектрисе угла ; 3) отрезки и конгруэнтны; 4) отрезки и конгруэнтны.

152. Даны две окружности и , пересекающиеся в точках и . Доказать, что угол, образованный касательными к этим окружностям в точке , равен углу между касательными к ним, проведенными в точке .

153. Доказать, что отрезок, соединяющий середины катетов прямоугольного треугольника, виден из основания высоты, проведенной к гипотенузе, под прямым углом.

154. Доказать, что из всех треугольников с данным основанием и высотой равнобедренный имеет наименьший периметр.

155. Высоты и треугольника пересекают описанную около него окружность в точках и соответственно. Доказать, что точка, симметричная точке относительно прямой , совпадает с точкой, симметричной точке относительно прямой .

156. Доказать, что для произвольного треугольника точки , и , симметричные ортоцентру данного треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около треугольника .