Задачи с применением гомотетии и подобия

157. Трапеция получается из трапеции гомотетией с некоторым центром . и - точки пересечения диагоналей трапеций и . Доказать, что точки , и коллинеарны.

158. Прямая, параллельная стороне треугольника , отсекает от него треугольник . Доказать, что медиана треугольника делит сторону нового треугольника пополам.

159. Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей и через точку пересечения продолжений ее боковых сторон.

160. На основаниях и трапеции вне ее построены квадраты. Доказать, что прямая, соединяющая центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

161. Окружности и касаются в точке . Через точку проведена секущая, пересекающая данные окружности в точках и соответственно. Доказать, что касательные к окружностям в точках и параллельны. Решить задачу для случаев: а) окружности касаются внешним образом; б) окружности касаются внутренним образом.

162. Прямая, параллельная стороне треугольника , отсекает от него треугольник . Доказать, что окружности, описанные около треугольников и , касаются.

163. – точка пересечения боковых сторон и трапеции , – точка пересечения ее диагоналей. Доказать, что: 1) окружности, описанные около треугольников и , касаются; 2) окружности, описанные около треугольников и , касаются.

164. Доказать, что множество середин всех хорд данной окружности, проходящих через фиксированную точку этой окружности, представляет собой окружность, гомотетичную данной и касающуюся ее в точке . Определить коэффициент гомотетии.

165. Две окружности касаются внутренним образом. В произвольной точке внутренней окружности проведена к ней касательная, отрезок которой, заключенный внутри внешней окружности, делится этой точкой на два отрезка. Доказать, что полученные отрезки видны из точки касания данных окружностей под равными углами.

166. Окружности и пересекаются в точках и . Через точку проведены диаметры и данных окружностей. Доказать, что прямая проходит через точку .

167. Две окружности касаются внутренним образом в точке . Секущая пересекает окружности в точках , , , , расположенных последовательно. Доказать, что углы и имеют равные величины.

168. Точки и – середины сторон и выпуклого четырехугольника . Прямые и делят диагональ на три конгруэнтных отрезка: . Доказать, что , где и – точки пересечения прямой с лучами и : , .

169. Две окружности и пересекаются в точках и . Через точку проведена секущая , параллельная линии центров и встречающая вторично эти окружности в точках и . Через точки и проведены к окружностям касательные и , пересекающиеся в точке , а через центры и - прямые и , параллельные касательным и (соответственно), пересекающиеся в точке . Доказать, что точки , и коллинеарны и - середина отрезка .

170. В треугольнике с прямым углом проведена высота . Доказать, что медианы и треугольников и перпендикулярны.

171. Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам лежат на одной прямой. Доказать также, что точка делит отрезок в отношении Х).