Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

При рассмотрении течений в открытых системах процесс переноса тепла обычно считается изобарным. Поэтому количество тепла, переносимое средой, обычно связывают с переносом энтальпии. Если в среде выделить некоторую плоскость, то в результате конвекции за время dτ через нее будет переноситься количество тепла Q_1-2 = dmh_1-2 =ρwdτЅh_1-2. Тогда плотность теплового потока, связанная с конвекцией, будет равна ρwh_1-2, а плотность теплового потока, связанная с теплопроводностью, равна – λgradt. В векторной форме плотность теплового потока при конвективном теплообмене может быть записана как:

(1)

Для определения коэффициента теплоотдачи и нахождения температурного поля используется система уравнений конвективного теплообмена, которая состоит из следующих уравнений:

- уравнение непрерывности;

- уравнения движения среды (в декартовой системе координат – их проекции на оси х,у,z);

- уравнение энергии;

- уравнение теплоотдачи на границе твердого тела и жидкости.

3.1. Уравнение непрерывности

Это уравнение вытекает из закона сохранения массы, который можно сформулировать следующим образом:

скорость скорость скорость

накопления = прихода - ухода

массы массы массы

Чтобы получить математическое выражение этого закона, нужно в декартовой системе координат выделить элементарный объем среды в виде куба с ребрами dx, dy, dz и рассмотреть поток массы через каждую грань. Если поток движется со скоростью w, то в направлении х через грань dydz за время dτ втекает масса среды . Через противоположную грань той же площади вытекает масса . Разница этих масс составляет избыток (накопление) массы в выделенном элементарном объеме за счет х - составляющей потока: Аналогичное рассмотрение нужно провести для y- и z- составляющих потока. Тогда в сумме это и составит скорость накопления массы в элементарном объеме dV:

Выражение в фигурных скобках представляет собой дивергенцию (ρw). Поэтому окончательно уравнение непрерывности (или сплошности) записывается в виде:

(2)