Уравнения движения среды можно получить, применив второй закон Ньютона к выделенному элементарному объему среды. В зависимости от условий течения на элемент движущейся среды могут действовать различные силы. В нашем рассмотрении учтем три из них: силу тяжести, равнодействующую сил давления на границах выделенного объема и равнодействующую сил внутреннего трения. Для элемента среды с плотностью ρ общий вид второго закона Ньютона:
(6)
С учетом сказанного о действующих силах на границах выделенного элементарного объема (подробное рассмотрение опускаем) получим:
(7)
Это уравнение векторное. Для решения в декартовой системе координат нужно получить его проекции на соответствующие оси координат. Выпишем проекцию уравнения (7) на ось х.
(8)
В уравнениях (7), (8) нужно учесть, что скорость является функцией как времени, так и координат, и поэтому ее зависимость от времени может быть и непосредственной (), и косвенной – через зависимость координат от времени (). Это справедливо для всех компонент скорости wx, wy, wz. В последнем же выражении Поэтому уравнение (8) будет окончательно записано как
|
|
(9)
Аналогичные выражения нужно записать для проекций уравнения движения на оси y,z. Полученная система из трех уравнений носит название уравнений Навье-Стокса.