Поэтому

(1.97)

Подставляя значение в уравнение (1.86) можем записать их в виде

(1.98)

При умеренных скоростях движения потока, пренебрегая изменением давления и мощностью внутренних поверхностных сил вязкой капельной жидкости, превращаемой в теплоту, по сравнению с его энтальпией, уравнение энергии можно представить в виде

(1.110)

или

(1.111)

Разделив полную производную от температуры по времени на локальную и конвективную составляющие, последнее уравнение представляем так

(1.112)

или следующим образом:

. (1.113)

В проекциях на координатные оси последнее уравнении примет вид

.

(1.114)

Если коэффициент теплопроводности среды можно считать величиной постоянной, то

(1.115)

или

(1.116)

где – коэффициент температуропроводности среды (thermal diffusivity), м² / с.

В проекциях на координатные оси уравнение (1.116) примет вид

. (1.117)

При отсутствии внутренних источников теплоты последнее уравнение упростится

. (1.118)

Для стационарного процесса уравнение (1.113) имеет вид

(1.119)

Так при λ = const

(1.120)

при λ = const и q_υ = 0

(1.121)

Из уравнения (1.115) видно, что в движущейся с умеренной скоростью сплошной среде температурное поле в общем случае зависит от компонент скорости, физических характеристик λ, ρ, c_p и мощности внутренних источников теплоты q_υ.

Уравнения энергии, движения и сплошности составляют систему дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. К этим уравнениям необходимо добавить уравнение теплоотдачи, включающее неизвестную (искомую) величину – коэффициент теплоотдачи

(1.122)

Вышеназванные уравнения в общем случае содержат 10 неизвестных: α, T, p, ρ, μ, c_υ, λ, q_υ. Для того чтобы замкнуть систему уравнений конвективного теплообмена и теплоотдачи, необходимо к ним присоединить уравнения, описывающие свойства жидкости и физические особенности рассматриваемой задачи.

Для выделения данной рассматриваемой конкретной задачи (её математической постановки) к системе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена необходимо присоединить условия однозначности или краевые условия, которые должны содержать описание всех частных особенностей процесса, т.е. конкретизировать задачу.

Граничные условия первого рода (dirichlet′s boundary condition) состоят в задании распределения температуры по поверхности теплообмена, т.е. в общем случае в задании функции

T _c = T _c(x, y, z, t), (1.123)

где T _c – температура поверхности теплообмена (стенки).