Задача 1.1. Найти координаты образа и прообраза точки при повороте вокруг начала координат на угол .
Решение. Найдем аналитическое выражение поворота, данного в задаче:
Чтобы найти координаты образа точки , надо подставить в эти формулы вместо и данные координаты точки , т.е. . Тогда ; , т.е.
.
Чтобы найти координаты прообраза точки , т.е. координаты точки, для которой теперь является образом, надо положить и найти и :
Умножив второе уравнение системы на и сложив с первым, найдем :
Подставляя найденное значение в одно из уравнений системы, найдем :
Таким образом, .
Ответ: , .
Задача 1.2. Найти уравнение образа и прообраза прямой при осевой симметрии с осью .
Решение. Аналитическое выражение осевой симметрии имеет вид:
Чтобы найти уравнение образа прямой , нужно выразить из этой системы и и подставить их в уравнение прямой :
. Опуская штрихи, получаем:
.
Чтобы найти уравнение прообраза прямой , запишем уравнение прямой (образа прямой ) в виде и подставим в него и из аналитического выражения :
|
|
.
Получили для прямых и одно и то же уравнение. Это не случайно, т.к. при осевой симметрии (так же как и при центральной) образ и прообраз любой фигуры всегда совпадают.
Ответ: , .
Задача 1.3. Даны прямые и . Найти такие точки и , что и , где .
Решение. , т.е. . Тогда учитывая, что , получаем:
(рис. 18).
Следовательно, чтобы найти координаты точки , надо сначала найти уравнение образа прямой при параллельном переносе на вектор , а затем решить систему уравнений прямых и .
Найдем аналитическое выражение параллельного переноса на вектор :
Найдем уравнение образа :
, т.е. .
Решаем систему
Сложив почленно уравнения системы, получим:
.
Итак, .
Так как , то , т.е. − прообраз точки . Найдем координаты прообраза точки :
откуда , т.е. .
Ответ: , .