Прямыми

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми существуют четыре основных способа:

1. нахождение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых;

2. расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую;

3. нахождение расстояния между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые;

4. нахождение расстояний между проекциями скрещивающихся прямых на перпендикулярную им плоскость.

Для начала докажем, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Определение: Общим перпендикуляром двух скрещивающихся

прямых называется отрезок с концами на этих прямых и являющийся перпендикуляром к каждой из них.

α

β

Доказательство: Действительно, пусть a и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них параллельные плоскости α и β. Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные плоскости α, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость β по прямой a’,параллельной а. Пусть В – точка пересечения прямых a’ и b. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости α, перпендикулярна и плоскости β, то есть, β параллельна α. Отрезок АВ – общий перпендикуляр плоскостей α и β, а значит и прямых а и b.

Теперь докажем, что этот перпендикуляр единственный.

Допустим, что у прямых a и b есть другой общий перпендикуляр СD. Проведем через точку С прямую b’ параллельную b. Прямая СD перпендикулярна прямой b, а значит и b’.Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости α, а значит параллельна АВ. Выходит, что через прямые АВ и СD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые АС и ВD, а это невозможно, что и требовалось доказать.

Определение: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.